Exercício 17. Simplifique \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, com h \neq 0 para f(x) igual a
f(x)=\frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
com h \neq 0 quando f(x)=\frac{1}{x}.
Informações dadas e condições importantes:
  • f(x)=\dfrac{1}{x}.
  • A expressão a simplificar é \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}.
  • Está explícito que h \neq 0.
  • Para que f(x) e f(x+h) existam, é necessário também que x \neq 0 e x+h \neq 0.

Passo 2

Substituo f na expressão dada para escrever tudo em termos de x e h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\dfrac{1}{x+h}-\dfrac{1}{x}}{h}.
Aqui cada fração dentro do numerador está escrita explicitamente: \dfrac{1}{x+h} e \dfrac{1}{x}.

Passo 3

Vou simplificar o numerador que é a diferença de duas frações. Para isso uso o denominador comum x(x+h):
\dfrac{1}{x+h}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{x(x+h)}-\dfrac{x+h}{x(x+h)}.
Expliquei: ao colocar sobre o mesmo denominador, multiplico numerador e denominador de \dfrac{1}{x+h} por x e de \dfrac{1}{x} por x+h.

Passo 4

Calculo a diferença dos numeradores:
\dfrac{x}{x(x+h)}-\dfrac{x+h}{x(x+h)}=\dfrac{x-(x+h)}{x(x+h)}=\dfrac{-h}{x(x+h)}.
Observe que x-(x+h)=x-x-h=-h. Então o numerador da fração original ficou \dfrac{-h}{x(x+h)}.

Passo 5

Agora volto à expressão inteira, que era esse numerador dividido por h:
\frac{\dfrac{-h}{x(x+h)}}{h}.
Dividir por h é multiplicar por \dfrac{1}{h}, logo
\frac{\dfrac{-h}{x(x+h)}}{h}=\dfrac{-h}{x(x+h)}\cdot\dfrac{1}{h}.

Passo 6

Cancelei o fator h (isso é legal porque foi dado h\neq 0):
\dfrac{-h}{x(x+h)}\cdot\dfrac{1}{h}=-\dfrac{1}{x(x+h)}.
Pronto: a expressão ficou bem simples.

Passo 7

Comentário didático rápido (útil para prova): essa expressão é o quociente incremental de f. Se você precisar do derivado f'(x), toma o limite quando h\to 0:
\lim_{h\to 0}\left(-\dfrac{1}{x(x+h)}\right)=-\dfrac{1}{x^{2}},
portanto f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}} (válido quando x\neq 0). Isso mostra por que simplificar esse quociente é um passo padrão ao calcular derivadas.

Resposta

-\dfrac{1}{x(x+h)}

Exercícios relacionados