Exercício 17. Simplifique
, com
para
igual a
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
com
quando
.
Informações dadas e condições importantes:
-
. - A expressão a simplificar é
. - Está explícito que
. - Para que
e existam, é necessário também que e .
Passo 2
Substituo
na expressão dada para escrever tudo em termos de
e
:
Aqui cada fração dentro do numerador está escrita explicitamente:
e
.
Passo 3
Vou simplificar o numerador que é a diferença de duas frações. Para isso uso o denominador comum
:
Expliquei: ao colocar sobre o mesmo denominador, multiplico numerador e denominador de
por
e de
por
.
Passo 4
Calculo a diferença dos numeradores:
Observe que
. Então o numerador da fração original ficou
.
Passo 5
Agora volto à expressão inteira, que era esse numerador dividido por
:
Dividir por
é multiplicar por
, logo
Passo 6
Cancelei o fator
(isso é legal porque foi dado
):
Pronto: a expressão ficou bem simples.
Passo 7
Comentário didático rápido (útil para prova): essa expressão é o quociente incremental de
. Se você precisar do derivado
, toma o limite quando
:
portanto
(válido quando
). Isso mostra por que simplificar esse quociente é um passo padrão ao calcular derivadas.