Exercício 15. Simplifique as expressões algébricas a seguir. Utilize fatorações, propriedades das frações e operações com polinômios sempre que possível. Considere que todos os denominadores são diferentes de zero:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão algébrica (considerando que todos os denominadores são diferentes de zero):
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão a ser simplificada é
. - Foi informado que todos os denominadores são diferentes de zero, portanto
e . Assim, e (esses valores tornam o denominador nulo na expressão original).
Passo 2
Vamos fatorar o polinômio que aparece no denominador:
.
A fatoração usa a identidade conhecida como diferença de quadrados:
Aqui
e
, logo
Passo 3
Agora substituímos essa fatoração na expressão original e usamos a regra de multiplicação de frações: multiplicam-se numeradores entre si e denominadores entre si. Assim:
Passo 4
Observa-se que o fator
aparece no numerador e no denominador. Podemos cancelá-lo desde que seja diferente de zero. Lembrando a informação do enunciado,
, então o cancelamento é válido (mas o valor
continua excluído da expressão equivalente). Após cancelar
obtemos:
Passo 5
Simplificamos a parte numérica
por máximo divisor comum. O MDC de
e
é
. Dividindo numerador e denominador por
:
Substituindo na fração obtida:
Passo 6
Conclusão: a expressão simplificada é
. Deve-se manter a ressalva sobre o domínio: a forma original não está definida em
nem em
, portanto a expressão simplificada é válida para
e
.