Exercício 15. Simplifique as expressões algébricas a seguir. Utilize fatorações, propriedades das frações e operações com polinômios sempre que possível. Considere que todos os denominadores são diferentes de zero:
\frac{8}{x^{2}-9} \cdot \frac{x-3}{12}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão algébrica (considerando que todos os denominadores são diferentes de zero):
\frac{8}{x^{2}-9} \cdot \frac{x-3}{12}
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão a ser simplificada é \dfrac{8}{x^{2}-9}\cdot\dfrac{x-3}{12}.
  • Foi informado que todos os denominadores são diferentes de zero, portanto x^{2}-9\neq0 e 12\neq0. Assim, x\neq3 e x\neq-3 (esses valores tornam o denominador nulo na expressão original).

Passo 2

Vamos fatorar o polinômio que aparece no denominador: x^{2}-9.
A fatoração usa a identidade conhecida como diferença de quadrados:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aqui a=x e b=3, logo
x^{2}-9=(x-3)(x+3).

Passo 3

Agora substituímos essa fatoração na expressão original e usamos a regra de multiplicação de frações: multiplicam-se numeradores entre si e denominadores entre si. Assim:
\frac{8}{x^{2}-9} \cdot \frac{x-3}{12} = \frac{8}{(x-3)(x+3)}\cdot\frac{x-3}{12} = \frac{8\,(x-3)}{12\,(x-3)(x+3)}.

Passo 4

Observa-se que o fator (x-3) aparece no numerador e no denominador. Podemos cancelá-lo desde que seja diferente de zero. Lembrando a informação do enunciado, x\neq3, então o cancelamento é válido (mas o valor x=3 continua excluído da expressão equivalente). Após cancelar (x-3) obtemos:
\frac{8}{12\,(x+3)}.

Passo 5

Simplificamos a parte numérica \dfrac{8}{12} por máximo divisor comum. O MDC de 8 e 12 é 4. Dividindo numerador e denominador por 4:
\frac{8}{12}=\frac{8\div4}{12\div4}=\frac{2}{3}.
Substituindo na fração obtida:
\frac{8}{12\,(x+3)}=\frac{2}{3\,(x+3)}.

Passo 6

Conclusão: a expressão simplificada é \dfrac{2}{3(x+3)}. Deve-se manter a ressalva sobre o domínio: a forma original não está definida em x=3 nem em x=-3, portanto a expressão simplificada é válida para x\neq3 e x\neq-3.

Resposta

\dfrac{2}{3(x+3)},\; x\neq -3,\; x\neq 3

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