Exercício 17 (De um tipo de equação para outro) Considere-se o espaço equipado com um sistema de coordenadas ortonormal.
Escrever uma equação cartesiana do plano de representação paramétrica \left\{\begin{array}{l}x=1+t+2 u \\\ y=2+t+u \\\ z=3 u\end{array} \quad(t, u \in \mathbb{R})\right.
Passo 1
O enunciado dá a representação paramétrica do plano
e pede sua equação cartesiana. Para isso precisamos identificar um ponto do plano, dois vetores diretores e calcular o vetor normal via produto vetorial.
Passo 2
Um ponto P_0 qualquer do plano obtém-se fixando t=0 e u=0:
P_0 = (x,y,z)\bigl|_{t=0,u=0} = (1,2,0).
Os vetores diretores vêm dos coeficientes de t e u. Para t:
\vec v_1 = (1,1,0),
para u:
\vec v_2 = (2,1,3).
Passo 3
Calculamos o vetor normal \vec n do plano pelo produto vetorial