Exercício 17 (De um tipo de equação para outro) Considere-se o espaço equipado com um sistema de coordenadas ortonormal.
Escrever uma equação cartesiana do plano de representação paramétrica
\left\{\begin{array}{l}x=1+t+2 u \\\ y=2+t+u \\\ z=3 u\end{array} \quad(t, u \in \mathbb{R})\right.

Passo 1

O enunciado dá a representação paramétrica do plano
\begin{cases} x=1+t+2u,\\\ y=2+t+u,\\\ z=3u, \end{cases} \quad (t,u\in\mathbb{R})
e pede sua equação cartesiana. Para isso precisamos identificar um ponto do plano, dois vetores diretores e calcular o vetor normal via produto vetorial.

Passo 2

Um ponto P_0 qualquer do plano obtém-se fixando t=0 e u=0:
P_0 = (x,y,z)\bigl|_{t=0,u=0} = (1,2,0).
Os vetores diretores vêm dos coeficientes de t e u. Para t:
\vec v_1 = (1,1,0),
para u:
\vec v_2 = (2,1,3).

Passo 3

Calculamos o vetor normal \vec n do plano pelo produto vetorial
\vec n = \vec v_1 \times \vec v_2 = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = (1\cdot3 - 0\cdot1)\,\mathbf i - (1\cdot3 - 0\cdot2)\,\mathbf j + (1\cdot1 - 1\cdot2)\,\mathbf k = (3,\,-3,\,-1).

Passo 4

Usamos a forma ponto–normal do plano:
\vec n\cdot\bigl((x,y,z)-P_0\bigr)=0.
Substituindo \vec n=(3,-3,-1) e P_0=(1,2,0) obtemos
(3,-3,-1)\cdot\bigl(x-1,\;y-2,\;z-0\bigr)=0.

Passo 5

Expandindo o produto escalar:
3(x-1)-3(y-2)-1\,(z-0)=0 \quad\Longrightarrow\quad 3x-3-3y+6 -z=0 \quad\Longrightarrow\quad 3x-3y -z +3=0.

Resposta

A equação cartesiana do plano é
3x \;-\;3y \;-\;z \;+\;3 \;=\;0.

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