Exercício 17 (De um tipo de equação para outro) Considere-se o espaço equipado com um sistema de coordenadas ortonormal.
Escrever um sistema de equações
que define a reta cuja representação paramétrica é \left\{\begin{array}{l}x=4 t+5 \\\ y=3 t+1 \\\ z=t+3\end{array}, t \in \mathbb{R}\right..
Passo 1
O enunciado dá a representação paramétrica da reta em \mathbb{R}^3\)
\[\begin{cases} x = 4t + 5,\\\ y = 3t + 1,\\\ z = t + 3, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R},
e pede um sistema de duas equações lineares em (x,y,z] cujo conjunto solução seja exatamente essa reta. Vamos converter a forma paramétrica em forma simétrica e daí obter as equações implícitas (interseção de dois planos).
Passo 2
Igualando cada expressão a t, obtemos a forma simétrica da reta: