Exercício 17 (De um tipo de equação para outro) Considere-se o espaço equipado com um sistema de coordenadas ortonormal.
Escrever um sistema de equações
que define a reta cuja representação paramétrica é
\left\{\begin{array}{l}x=4 t+5 \\\ y=3 t+1 \\\ z=t+3\end{array}, t \in \mathbb{R}\right..

Passo 1

O enunciado dá a representação paramétrica da reta em \mathbb{R}^3\) \[\begin{cases} x = 4t + 5,\\\ y = 3t + 1,\\\ z = t + 3, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R},
e pede um sistema de duas equações lineares em (x,y,z] cujo conjunto solução seja exatamente essa reta. Vamos converter a forma paramétrica em forma simétrica e daí obter as equações implícitas (interseção de dois planos).

Passo 2

Igualando cada expressão a t, obtemos a forma simétrica da reta:
\frac{x - 5}{4} \;=\;\frac{y - 1}{3}\;=\;\frac{z - 3}{1}.

Passo 3

Da igualdade \dfrac{x-5}{4} = \dfrac{z-3}{1} segue
x-5 = 4\,(z-3) \quad\Longrightarrow\quad x - 4z + 7 = 0.

Passo 4

Da igualdade \dfrac{y-1}{3} = \dfrac{z-3}{1} segue
y-1 = 3\,(z-3) \quad\Longrightarrow\quad y - 3z + 8 = 0.

Resposta

\begin{cases} x - 4z + 7 = 0,\\\ y - 3z + 8 = 0. \end{cases}

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