Exercício 2.18 Determine a inclinação da assíntota de alta frequência no diagrama de Bode de magnitude para qualquer filtro passa-baixas passivo de segunda ordem idealizado. Expresse o resultado em dB/década.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a inclinação (slope) da assíntota de alta frequência no diagrama de Bode de magnitude, para qualquer filtro passa-baixas passivo de segunda ordem idealizado.
Informações dadas (assumidas como parte do enunciado): o filtro é
  • passa-baixas (ou seja, permite sinal em baixas frequências e atenua em altas),
  • passivo (não possui ganho ativo maior que 1 nem fontes que gerem zeros de alto grau no numerador),
  • de segunda ordem (a função de transferência tem um denominador polinomial de grau 2),
  • idealizado (modelo padrão sem elementos adicionais que alterem o grau assintótico).

Passo 2

Vamos escrever uma forma canônica da função de transferência de um filtro passa-baixas de segunda ordem (forma muito usada e que descreve a grande maioria dos projetos passivos tipo RLC):
H(s)=\frac{K\,\omega_0^{2}}{s^{2}+\dfrac{\omega_0}{Q}\,s+\omega_0^{2}}.
Explicando cada termo (aula rápida):
  • s é a variável complexa do domínio de Laplace (na análise em frequência usa-se s=j\omega).
  • \omega é a frequência angular (rad/s) e \omega_0 é a frequência natural / de corte do filtro.
  • Q é o fator de qualidade (relacionado a largura de banda e à ressonância).
  • K é um ganho em baixa frequência (para filtros passivos geralmente 0< K\le 1; muitas vezes K=1 quando normalizado).
    Justificação curta de por que usar essa forma: um filtro passa-baixas de segunda ordem tem denominador de grau 2; para um passa-baixas idealizado o numerador é um termo constante (não aumenta com s), por isso o grau do numerador é menor que o do denominador.

Passo 3

Para traçar o Bode de magnitude usamos s=j\omega. Substituindo:
H(j\omega)=\frac{K\,\omega_0^{2}}{(j\omega)^{2}+\dfrac{\omega_0}{Q}\,j\omega+\omega_0^{2}}.
Agora vamos analisar o comportamento quando a frequência é muito maior que a frequência de corte: isto é, \omega\gg\omega_0. Essa é a região de alta frequência onde queremos a assíntota.

Passo 4

Para \omega\gg\omega_0 os termos de menor ordem em \omega na parte real/complexa do denominador são desprezíveis frente ao termo de maior ordem. O termo dominante no denominador é (j\omega)^{2}=-\omega^{2}. Assim, em módulo:
H(j\omega)\approx\frac{K\,\omega_0^{2}}{(j\omega)^{2}}=\frac{K\,\omega_0^{2}}{-\omega^{2}}.
Tomando o módulo (magnitudes são positivas):
\lvert H(j\omega)\rvert \approx \frac{K\,\omega_0^{2}}{\omega^{2}}.
Breve comentário didático: isso mostra que, para altas frequências, a magnitude decai proporcionalmente a \dfrac{1}{\omega^{2}}. Esse comportamento \omega^{-2} é típico de filtros cuja função de transferência tem denominador de grau 2 e numerador de grau 0.

Passo 5

Agora convertemos para decibéis (a escala usada no diagrama de Bode de magnitude). A relação entre magnitude linear e dB é:
\text{Magnitude (dB)} = 20\log_{10}\!\big(\lvert H(j\omega)\rvert\big).
Substituindo a aproximação assintótica:
20\log_{10}\!\big(\lvert H(j\omega)\rvert\big) \approx 20\log_{10}\!\big(K\,\omega_0^{2}\big) - 20\log_{10}\!\big(\omega^{2}\big).
Usando \log_{10}(\omega^{2})=2\log_{10}(\omega) obtemos
20\log_{10}\!\big(\lvert H(j\omega)\rvert\big) \approx 20\log_{10}\!\big(K\,\omega_0^{2}\big) - 40\log_{10}(\omega).
Isso já revela o declive em escala logarítmica: a parcela que depende de \omega é -40\log_{10}(\omega).

Passo 6

Traduzindo isso para “dB por década”: uma década é um fator \times 10 em \omega. Se \omega aumenta por um fator 10, \log_{10}(\omega) aumenta em 1, portanto a variação da magnitude em dB é
\Delta\big(20\log_{10}\lvert H\rvert\big) \approx -40\cdot\Delta\big(\log_{10}\omega\big) = -40\cdot 1 = -40\\ \text{dB}.
Logo a inclinação da assíntota de alta frequência é -40\\ \text{dB/década}é.

Passo 7

Observações finais (didáticas e prática de prova):
  • O resultado é independente de Q, de \omega_0 e de K: qualquer segundo-ordem com numerador de grau menor que 2 terá esse declive \omega^{-2} e portanto -40\\ \text{dB/década}é.
  • Em provas, é comum justificar com a ideia: "grau do denominador menos grau do numerador = 2, cada potência de \omega contribui com -20\\ \text{dB/década}é". Assim, grau 2 → -40\\ \text{dB/década}é.
  • Atenção: se o numerador tivesse um zero em alta frequência que elevasse o grau do numerador, o declive assintótico poderia mudar; mas para filtros passa-baixas passivos de segunda ordem idealizados o numerador é constante.

Resposta

-40\\ \text{dB/década}é

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