Exercício 2.18 Determine a inclinação da assíntota de alta frequência no diagrama de Bode de magnitude para qualquer filtro passa-baixas passivo de segunda ordem idealizado. Expresse o resultado em dB/década.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a inclinação (slope) da assíntota de alta frequência no diagrama de Bode de magnitude, para qualquer filtro passa-baixas passivo de segunda ordem idealizado.
Informações dadas (assumidas como parte do enunciado): o filtro é
Informações dadas (assumidas como parte do enunciado): o filtro é
- passa-baixas (ou seja, permite sinal em baixas frequências e atenua em altas),
- passivo (não possui ganho ativo maior que 1 nem fontes que gerem zeros de alto grau no numerador),
- de segunda ordem (a função de transferência tem um denominador polinomial de grau 2),
- idealizado (modelo padrão sem elementos adicionais que alterem o grau assintótico).
Passo 2
Vamos escrever uma forma canônica da função de transferência de um filtro passa-baixas de segunda ordem (forma muito usada e que descreve a grande maioria dos projetos passivos tipo RLC):
Explicando cada termo (aula rápida):
-
é a variável complexa do domínio de Laplace (na análise em frequência usa-se ). -
é a frequência angular (rad/s) e é a frequência natural / de corte do filtro. -
é o fator de qualidade (relacionado a largura de banda e à ressonância). -
é um ganho em baixa frequência (para filtros passivos geralmente ; muitas vezes quando normalizado).
Justificação curta de por que usar essa forma: um filtro passa-baixas de segunda ordem tem denominador de grau 2; para um passa-baixas idealizado o numerador é um termo constante (não aumenta com), por isso o grau do numerador é menor que o do denominador.
Passo 3
Para traçar o Bode de magnitude usamos
. Substituindo:
Agora vamos analisar o comportamento quando a frequência é muito maior que a frequência de corte: isto é,
. Essa é a região de alta frequência onde queremos a assíntota.
Passo 4
Para
os termos de menor ordem em
na parte real/complexa do denominador são desprezíveis frente ao termo de maior ordem. O termo dominante no denominador é
. Assim, em módulo:
Tomando o módulo (magnitudes são positivas):
Breve comentário didático: isso mostra que, para altas frequências, a magnitude decai proporcionalmente a
. Esse comportamento
é típico de filtros cuja função de transferência tem denominador de grau 2 e numerador de grau 0.
Passo 5
Agora convertemos para decibéis (a escala usada no diagrama de Bode de magnitude). A relação entre magnitude linear e dB é:
Substituindo a aproximação assintótica:
Usando
obtemos
Isso já revela o declive em escala logarítmica: a parcela que depende de
é
.
Passo 6
Traduzindo isso para “dB por década”: uma década é um fator
em
. Se
aumenta por um fator
,
aumenta em
, portanto a variação da magnitude em dB é
Logo a inclinação da assíntota de alta frequência é
.
Passo 7
Observações finais (didáticas e prática de prova):
- O resultado é independente de
, de e de : qualquer segundo-ordem com numerador de grau menor que 2 terá esse declive e portanto . - Em provas, é comum justificar com a ideia: "grau do denominador menos grau do numerador = 2, cada potência de
contribui com ". Assim, grau 2 → . - Atenção: se o numerador tivesse um zero em alta frequência que elevasse o grau do numerador, o declive assintótico poderia mudar; mas para filtros passa-baixas passivos de segunda ordem idealizados o numerador é constante.