Exercício 2.17 Um filtro passa-baixas de segunda ordem possui
e
. Calcule o ganho de amplitude em decibéis
exatamente na frequência
.
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados e pedido (peguei tudo do enunciado):
-
. -
.
O enunciado pede: calcular o ganho de amplitude em decibéis exatamente na frequência.
Observação (assunção padrão): como o enunciado não especifica outro ganho de escala, vou usar a forma normalizada do filtro passa-baixas de segunda ordem com ganho de baixa frequência
. Se o filtro tivesse outro ganho DC
, o resultado seria multiplicado por
(ver Passo 4).
Passo 2
Esclarecendo a forma padrão do filtro e o significado dos parâmetros.
A função de transferência padrão de um passa-baixas de segunda ordem, na forma normalizada, é
Explicação das variáveis:
-
é a variável complexa do domínio de Laplace (frequência complexa). -
é o ganho em (ganho DC). -
é a frequência natural (em rad/s). -
é o fator de qualidade que mede a seletividade/ressonância do circuito (maior → pico mais pronunciado).
Passo 3
Obter a resposta em frequência substituindo
e escrever a magnitude.
Substituindo
obtemos a função de resposta em frequência:
A magnitude é dada pela razão entre o módulo do numerador e o módulo do denominador (módulo de
é
), logo
Passo 4
Avaliar a expressão no ponto
e simplificar (aqui aparece uma grande simplificação útil).
Substituindo
na expressão da magnitude:
Como
, obtemos
Comentário didático: isto mostra que, para a forma padrão, o ganho em
depende apenas de
e de
— é independente de
numericamente porque as potências de
se cancelam.
Passo 5
Aplicar os números dados e converter para decibéis.
Usando a assunção
(ganho unitário em DC), fica
A conversão para decibéis usa a fórmula
Portanto
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais:
.