Exercício 2.17 Um filtro passa-baixas de segunda ordem possui \omega_{0}=1000 \mathrm{rad} / \mathrm{s} e Q=2. Calcule o ganho de amplitude em decibéis \left(|H(j \omega)|_{d B}\right) exatamente na frequência \omega=1000 \mathrm{rad} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pedido (peguei tudo do enunciado):
  • \omega_{0}=1000\\ \mathrm{rad/s}.
  • Q=2.
    O enunciado pede: calcular o ganho de amplitude em decibéis exatamente na frequência \omega=1000\\ \mathrm{rad/s}.
Observação (assunção padrão): como o enunciado não especifica outro ganho de escala, vou usar a forma normalizada do filtro passa-baixas de segunda ordem com ganho de baixa frequência H_{0}=1. Se o filtro tivesse outro ganho DC H_{0}, o resultado seria multiplicado por H_{0} (ver Passo 4).

Passo 2

Esclarecendo a forma padrão do filtro e o significado dos parâmetros.
A função de transferência padrão de um passa-baixas de segunda ordem, na forma normalizada, é
H(s)=H_{0}\,\frac{\omega_{0}^{2}}{s^{2}+\dfrac{\omega_{0}}{Q}s+\omega_{0}^{2}}.
Explicação das variáveis:
  • s é a variável complexa do domínio de Laplace (frequência complexa).
  • H_{0} é o ganho em \omega=0 (ganho DC).
  • \omega_{0} é a frequência natural (em rad/s).
  • Q é o fator de qualidade que mede a seletividade/ressonância do circuito (maior Q → pico mais pronunciado).

Passo 3

Obter a resposta em frequência substituindo s=j\omega e escrever a magnitude.
Substituindo s=j\omega obtemos a função de resposta em frequência:
H(j\omega)=H_{0}\,\frac{\omega_{0}^{2}}{-\omega^{2}+j\,\dfrac{\omega_{0}}{Q}\,\omega+\omega_{0}^{2}}.
A magnitude é dada pela razão entre o módulo do numerador e o módulo do denominador (módulo de a+jb é \sqrt{a^{2}+b^{2}}), logo
|H(j\omega)|=H_{0}\,\frac{\omega_{0}^{2}}{\sqrt{\bigl(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\bigr)^{2}+\bigl(\dfrac{\omega_{0}\omega}{Q}\bigr)^{2}}}.

Passo 4

Avaliar a expressão no ponto \omega=\omega_{0} e simplificar (aqui aparece uma grande simplificação útil).
Substituindo \omega=\omega_{0} na expressão da magnitude:
|H(j\omega_{0})|=H_{0}\,\frac{\omega_{0}^{2}}{\sqrt{\bigl(\omega_{0}^{2}-\omega_{0}^{2}\bigr)^{2}+\bigl(\dfrac{\omega_{0}\omega_{0}}{Q}\bigr)^{2}}} =H_{0}\,\frac{\omega_{0}^{2}}{\sqrt{0+\bigl(\dfrac{\omega_{0}^{2}}{Q}\bigr)^{2}}}.
Como \sqrt{\bigl(\dfrac{\omega_{0}^{2}}{Q}\bigr)^{2}}=\dfrac{\omega_{0}^{2}}{Q}, obtemos
|H(j\omega_{0})|=H_{0}\,\frac{\omega_{0}^{2}}{\dfrac{\omega_{0}^{2}}{Q}}=H_{0}\,Q.
Comentário didático: isto mostra que, para a forma padrão, o ganho em \omega_{0} depende apenas de H_{0} e de Q — é independente de \omega_{0} numericamente porque as potências de \omega_{0} se cancelam.

Passo 5

Aplicar os números dados e converter para decibéis.
Usando a assunção H_{0}=1 (ganho unitário em DC), fica
|H(j\omega_{0})|=Q=2.
A conversão para decibéis usa a fórmula
|H(j\omega_{0})|_{dB}=20\log_{10}\bigl(|H(j\omega_{0})|\bigr).
Portanto
|H(j\omega_{0})|_{dB}=20\log_{10}(2)\approx 20\cdot 0,3010=6,0206\\ \text{dB}.
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais: 6,02\\ \text{dB}.

Resposta

6,0206\\ \text{dB} \approx 6,02\\ \text{dB}

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