Exercício 18. Mostre que
\operatorname{sen} x-\operatorname{sen} y=2 \cos \frac{x+y}{2} \operatorname{sen} \frac{x-y}{2}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade trigonométrica de soma e diferença de senos:
\sin x - \sin y = 2\cos\frac{x+y}{2}\,\sin\frac{x-y}{2}.
O conteúdo que vamos usar é a fórmula de adição e subtração de ângulos para a função seno.

Passo 2

Definimos dois ângulos intermediários para facilitar a aplicação das fórmulas:
\alpha = \frac{x+y}{2}, \quad \beta = \frac{x-y}{2}.
Note que x = \alpha + \beta e y = \alpha - \beta.

Passo 3

Escrevemos \sin x e \sin y em termos de \alpha e \beta:
\sin x = \sin(\alpha + \beta), \qquad \sin y = \sin(\alpha - \beta).

Passo 4

Aplicamos a fórmula de adição e subtração para o seno:
\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta,
\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta.

Passo 5

Subtraímos as duas expressões:
\sin x - \sin y = \bigl(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\bigr) - \bigl(\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta\bigr).
Os termos \sin\alpha\cos\beta cancelam, sobrando
\sin x - \sin y = 2\,\cos\alpha\,\sin\beta.
Por fim, voltando às definições de \alpha e \beta, concluímos
\sin x - \sin y = 2\cos\frac{x+y}{2}\,\sin\frac{x-y}{2}.

Resposta

\sin x - \sin y = 2\cos\frac{x+y}{2}\,\sin\frac{x-y}{2}.

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