Exercício 20. Mostre que
\cos x-\cos y=2 \operatorname{sen} \frac{x+y}{2} \operatorname{sen} \frac{y-x}{2}

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos a identidade
\cos x - \cos y = 2 \sin\frac{x+y}{2}\,\sin\frac{y-x}{2}.
O que precisamos usar são as fórmulas de soma e diferença para o cosseno e a definição de seno. Em particular, vamos derivar a fórmula geral \cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)=-2\sin\alpha\,\sin\beta
e depois aplicar escolhas adequadas para \alpha e \beta.

Passo 2

Começamos escrevendo as fórmulas de soma e diferença:
\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,
\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.
Subtraindo a segunda da primeira, obtemos
\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta) =(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta) -(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta) =-2\sin\alpha\,\sin\beta.

Passo 3

Para ligar isso ao nosso problema, escolhemos
\alpha=\frac{x+y}{2}, \qquad \beta=\frac{x-y}{2}.
Então \alpha+\beta=x e \alpha-\beta=y, logo
\cos x-\cos y =\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta) =-2\sin\alpha\,\sin\beta =-2\sin\frac{x+y}{2}\,\sin\frac{x-y}{2}.
Por fim, como \sin\frac{x-y}{2}=-\sin\frac{y-x}{2}, vem
-2\sin\frac{x+y}{2}\,\sin\frac{x-y}{2} =2\sin\frac{x+y}{2}\,\sin\frac{y-x}{2}.

Resposta

\cos x-\cos y=2\sin\frac{x+y}{2}\,\sin\frac{y-x}{2}.

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