Exercício 2.18. Seja \left(A_{i}\right)_{i \in I} uma família de subconjuntos de um conjunto U e seja
A:=\bigcap_{i \in I} A_{i} .
Mostre que, para todo conjunto B \subseteq U, vale
B \subseteq A \quad \Longleftrightarrow \quad B \subseteq A_{i} \text { para todo } i \in I .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Há um conjunto universo U.
  • \left(A_{i}\right)_{i\in I} é uma família de subconjuntos de U, isto é, para cada i\in I tem-se A_{i}\subseteq U.
  • Define-se A := \bigcap_{i\in I} A_{i}.
O que precisamos mostrar é a equivalência, válida para todo conjunto B\subseteq U:
B \subseteq A \quad\Longleftrightarrow\quad B \subseteq A_{i}\\ \text{ para todo } i\in I.
Ou seja, devemos provar duas implicações: (1) se B\subseteq A então B\subseteq A_{i} para todo i\in I; e (2) se B\subseteq A_{i} para todo i\in I então B\subseteq A.

Passo 2

Vou lembrar as definições que vamos usar (explicando como raciocinar em prova elementar):
  • A inclusão B\subseteq C significa, por definição, que todo elemento de B também está em C. Em notação lógica:
B\subseteq C \quad\Longleftrightarrow\quad \forall x\,(x\in B \Rightarrow x\in C).
  • A definição de interseção da família \left(A_{i}\right)_{i\in I} é:
x\in \bigcap_{i\in I} A_{i} \quad\Longleftrightarrow\quad \forall i\in I\,(x\in A_{i}).
Essas duas traduções em termos de quantificadores permitem o “element-chasing” (pegar um elemento genérico e seguir pertences) que é a técnica padrão aqui.

Passo 3

Prova da primeira implicação: B\subseteq A \Longrightarrow B\subseteq A_{i} para todo i\in I.
Tomemos como hipótese que B\subseteq A. Queremos mostrar que, fixado um índice arbitrário i_0\in I, vale B\subseteq A_{i_0}.
Procedimento elementar:
  • Seja i_0\in I arbitrário.
  • Tome um elemento arbitrário x\in B.
  • Pela hipótese B\subseteq A temos x\in A.
  • Pela definição de A como interseção, x\in A implica \forall i\in I\,(x\in A_{i}). Em particular, para o índice escolhido i_0 vale x\in A_{i_0}.
  • Assim, mostramos que todo x\in B pertence a A_{i_0}; portanto B\subseteq A_{i_0}.
  • Como i_0 foi arbitrário, concluímos que B\subseteq A_{i} para todo i\in I.

Passo 4

Prova da segunda implicação: \bigl(B\subseteq A_{i}\\ \text{para todo } i\in I\bigr) \Longrightarrow B\subseteq A.
Suponha que para todo i\in I temos B\subseteq A_{i}. Precisamos mostrar B\subseteq A.
Procedimento elementar:
  • Tome um elemento arbitrário x\in B.
  • Pela hipótese B\subseteq A_{i} válida para cada i, segue que para cada i\in I tem-se x\in A_{i}.
  • Logo \forall i\in I\,(x\in A_{i}), e pela definição de interseção isso significa x\in \bigcap_{i\in I} A_{i}=A.
  • Assim todo x\in B pertence a A, isto é, B\subseteq A.

Passo 5

Juntando as duas direções provadas nos Passos 3 e 4 obtemos a equivalência desejada:
B \subseteq A \quad\Longleftrightarrow\quad B \subseteq A_{i}\\ \text{ para todo } i\in I.
Dica rápida para a prova em prova/exame: sempre que aparecer interseção e inclusões, use a definição elementar ( \forall x\,(x\in B\Rightarrow x\in A) e a equivalência x\in\bigcap A_i \Leftrightarrow \forall i\,(x\in A_i)) e faça o “pegue um x arbitrário” — é curto e direto.

Passo 6

Um pequeno exemplo concreto para fixar a intuição:
  • Seja U=\{1,2,3\}, A_1=\{1,2\}, A_2=\{1,3\}. Então A=\bigcap_{i=1}^{2}A_i=\{1\}.
  • Se B=\{1\} então B\subseteq A e também B\subseteq A_1 e B\subseteq A_2.
  • Se B=\{1,2\} então B\not\subseteq A (pois 2\notin A), e de fato B\not\subseteq A_2. Isso ilustra que ser subconjunto da interseção é equivalente a ser subconjunto de cada conjunto da família.

Resposta

B \subseteq A \quad\Longleftrightarrow\quad B \subseteq A_{i}\\ \text{ para todo } i\in I.

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