Exercício 2.18. Seja
uma família de subconjuntos de um conjunto
e seja
Mostre que, para todo conjunto
, vale
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há um conjunto universo
. -
é uma família de subconjuntos de , isto é, para cada tem-se . - Define-se
O que precisamos mostrar é a equivalência, válida para todo conjunto
:
Ou seja, devemos provar duas implicações: (1) se
então
para todo
; e (2) se
para todo
então
.
Passo 2
Vou lembrar as definições que vamos usar (explicando como raciocinar em prova elementar):
- A inclusão
significa, por definição, que todo elemento de também está em . Em notação lógica:
- A definição de interseção da família
é:
Essas duas traduções em termos de quantificadores permitem o “element-chasing” (pegar um elemento genérico e seguir pertences) que é a técnica padrão aqui.
Passo 3
Prova da primeira implicação:
para todo
.
Tomemos como hipótese que
. Queremos mostrar que, fixado um índice arbitrário
, vale
.
Procedimento elementar:
- Seja
arbitrário. - Tome um elemento arbitrário
. - Pela hipótese
temos . - Pela definição de
como interseção, implica . Em particular, para o índice escolhido vale . - Assim, mostramos que todo
pertence a ; portanto . - Como
foi arbitrário, concluímos que para todo .
Passo 4
Prova da segunda implicação:
.
Suponha que para todo
temos
. Precisamos mostrar
.
Procedimento elementar:
- Tome um elemento arbitrário
. - Pela hipótese
válida para cada , segue que para cada tem-se . - Logo
, e pela definição de interseção isso significa . - Assim todo
pertence a , isto é, .
Passo 5
Juntando as duas direções provadas nos Passos 3 e 4 obtemos a equivalência desejada:
Dica rápida para a prova em prova/exame: sempre que aparecer interseção e inclusões, use a definição elementar (
e a equivalência
) e faça o “pegue um
arbitrário” — é curto e direto.
Passo 6
Um pequeno exemplo concreto para fixar a intuição:
- Seja
, , . Então . - Se
então e também e . - Se
então (pois ), e de fato . Isso ilustra que ser subconjunto da interseção é equivalente a ser subconjunto de cada conjunto da família.