Exercício 2.20. Assumindo a existência de ao menos um conjunto (o que, em ZFC, é garantido, por exemplo, pelo axioma do infinito) e a validade do esquema da especificação, mostre que existe um conjunto sem elementos.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado: existe pelo menos um conjunto; chamo esse conjunto de
. (Isto é uma hipótese do enunciado.) - Dado: vale o esquema da especificação (também chamado de axioma de separação ou esquema da compreensão relativizada).
- Pedido: mostrar que existe um conjunto sem elementos (ou seja, mostrar a existência do conjunto vazio).
Vou listar as informações relevantes que vou usar:
- Um conjunto concreto qualquer
cuja existência é garantida pela hipótese. - O esquema da especificação, que permite extrair de
um subconjunto formado pelos elementos de que satisfazem uma certa propriedade lógica .
Passo 2
Explicando cuidadosamente o esquema da especificação (o que ele afirma e o que cada símbolo significa).
O esquema da especificação diz o seguinte: para qualquer fórmula
(possivelmente com parâmetros) e para qualquer conjunto
, existe um conjunto
que coleta exatamente os elementos de
que satisfazem
. Formalmente,
Aqui:
-
é qualquer propriedade/formula da linguagem da teoria dos conjuntos, com como variável livre (pode usar parâmetros provenientes de ou de outros conjuntos dados). - A afirmação
significa que existe um conjunto tal que, para todo , pertence a se, e somente se, pertence a e é verdadeira. - Intuição: a especificação permite “separar” de
exatamente os elementos que satisfazem .
Observação didática: se a fórmula
for sempre falsa (uma contradição), então a especificação garante a existência do subconjunto de
que satisfaz uma propriedade impossível — isto é, um subconjunto sem elementos.
Passo 3
Escolhendo uma propriedade que é sempre falsa e aplicando a especificação.
Uma fórmula simples que é sempre falsa é
(nenhum objeto é distinto de si mesmo). Tomemos
como
Aplicando o esquema da especificação ao conjunto
e à fórmula
, obtemos a existência de um conjunto
tal que
Também podemos escrever o conjunto explicitamente como
Explicando:
é definido como o subconjunto de
formado por todos os
que satisfazem
.
Passo 4
Mostrando que
não tem elementos (prova de que
é vazio).
Prova direta por contradição/uso da definição:
Suponha, para um elemento arbitrário
, que
. Pela definição de
(pela especificação) isso significa que
e
. Mas
é uma contradição lógica (nenhum objeto é distinto de si mesmo). Portanto a suposição
conduz a contradição, logo não existe tal
. Assim, para todo
vale
.
Em símbolos:
ou equivalentemente
Isto mostra que
é um conjunto sem elementos — ou seja,
é o conjunto vazio.
Passo 5
Comentário final e observação sobre unicidade (opcional, mas útil para a prova).
- Conclusão: a hipótese de existência de um conjunto
e o esquema da especificação já garantem a existência de um conjunto sem elementos; construímos explicitamente . - Observação sobre unicidade: usando o axioma da extensão (extensionalidade), pode-se mostrar que qualquer dois conjuntos sem elementos são iguais, portanto o conjunto vazio é único. A prova é simples: se
e não têm elementos, então para todo tem-se é falso e é falso, logo , e por extensionalidade .