Exercício 2.20. Assumindo a existência de ao menos um conjunto (o que, em ZFC, é garantido, por exemplo, pelo axioma do infinito) e a validade do esquema da especificação, mostre que existe um conjunto sem elementos.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: existe pelo menos um conjunto; chamo esse conjunto de S. (Isto é uma hipótese do enunciado.)
  • Dado: vale o esquema da especificação (também chamado de axioma de separação ou esquema da compreensão relativizada).
  • Pedido: mostrar que existe um conjunto sem elementos (ou seja, mostrar a existência do conjunto vazio).
Vou listar as informações relevantes que vou usar:
  • Um conjunto concreto qualquer S cuja existência é garantida pela hipótese.
  • O esquema da especificação, que permite extrair de S um subconjunto formado pelos elementos de S que satisfazem uma certa propriedade lógica \varphi(x).

Passo 2

Explicando cuidadosamente o esquema da especificação (o que ele afirma e o que cada símbolo significa).
O esquema da especificação diz o seguinte: para qualquer fórmula \varphi(x) (possivelmente com parâmetros) e para qualquer conjunto S, existe um conjunto Y que coleta exatamente os elementos de S que satisfazem \varphi. Formalmente,
\exists Y\\ \forall x\\ \bigl(x\in Y \iff (x\in S \land \varphi(x))\bigr).
Aqui:
  • \varphi(x) é qualquer propriedade/formula da linguagem da teoria dos conjuntos, com x como variável livre (pode usar parâmetros provenientes de S ou de outros conjuntos dados).
  • A afirmação \exists Y\\ \forall x\\ (x\in Y \iff (x\in S \land \varphi(x))) significa que existe um conjunto Y tal que, para todo x, x pertence a Y se, e somente se, x pertence a S e \varphi(x) é verdadeira.
  • Intuição: a especificação permite “separar” de S exatamente os elementos que satisfazem \varphi.
Observação didática: se a fórmula \varphi(x) for sempre falsa (uma contradição), então a especificação garante a existência do subconjunto de S que satisfaz uma propriedade impossível — isto é, um subconjunto sem elementos.

Passo 3

Escolhendo uma propriedade que é sempre falsa e aplicando a especificação.
Uma fórmula simples que é sempre falsa é x \neq x (nenhum objeto é distinto de si mesmo). Tomemos \varphi(x) como
\varphi(x) \equiv (x \neq x).
Aplicando o esquema da especificação ao conjunto S e à fórmula \varphi(x), obtemos a existência de um conjunto Y tal que
\forall x\\ \bigl(x\in Y \iff (x\in S \land x\neq x)\bigr).
Também podemos escrever o conjunto explicitamente como
Y = \{\, x\in S \mid x\neq x \,\}.
Explicando: Y é definido como o subconjunto de S formado por todos os x\in S que satisfazem x\neq x.

Passo 4

Mostrando que Y não tem elementos (prova de que Y é vazio).
Prova direta por contradição/uso da definição:
Suponha, para um elemento arbitrário y, que y\in Y. Pela definição de Y (pela especificação) isso significa que y\in S e y\neq y. Mas y\neq y é uma contradição lógica (nenhum objeto é distinto de si mesmo). Portanto a suposição y\in Y conduz a contradição, logo não existe tal y. Assim, para todo x vale x\notin Y.
Em símbolos:
\neg\exists x\\ (x\in Y),
ou equivalentemente
\forall x\\ (x\notin Y).
Isto mostra que Y é um conjunto sem elementos — ou seja, Y é o conjunto vazio.

Passo 5

Comentário final e observação sobre unicidade (opcional, mas útil para a prova).
  • Conclusão: a hipótese de existência de um conjunto S e o esquema da especificação já garantem a existência de um conjunto sem elementos; construímos explicitamente Y=\{x\in S\mid x\neq x\}.
  • Observação sobre unicidade: usando o axioma da extensão (extensionalidade), pode-se mostrar que qualquer dois conjuntos sem elementos são iguais, portanto o conjunto vazio é único. A prova é simples: se E e F não têm elementos, então para todo x tem-se x\in E é falso e x\in F é falso, logo \forall x\\ (x\in E \iff x\in F), e por extensionalidade E=F.

Resposta

\varnothing = \{\,x\in S \mid x\neq x\,\}

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