Exercício 4.19 Um barco de patrulha está ancorado a 2 quilômetros de uma praia retilínea. Este barco possui um farol giratório cujo facho de luz gira a uma velocidade angular de 0,6 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Qual é a velocidade com que o facho de luz passa pelo ponto da praia mais próximo do barco?

Passo 1

O barco está a 2 km de uma praia retilínea e o seu farol gira com velocidade angular constante \dfrac{d\theta}{dt}=0{,}6\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}. Queremos a velocidade v=\dfrac{dx}{dt} com que a mancha de luz se desloca ao passar pelo ponto mais próximo do barco, tomando x como a distância medida ao longo da praia a partir desse ponto.

Passo 2

A relação geométrica entre o ângulo \theta do feixe e a posição x sobre a praia é
\tan\theta = \frac{x}{2}.

Passo 3

Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo t, obtemos
\operatorname{sec}^2\theta\;\frac{d\theta}{dt} \;=\;\frac{1}{2}\,\frac{dx}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{dt} = 2\,\operatorname{sec}^2\theta\;\frac{d\theta}{dt}.

Passo 4

No instante em que o feixe incide no ponto mais próximo do barco, tem-se x=0\Rightarrow\theta=0 e \operatorname{sec}^2 0=1. Logo,
\frac{dx}{dt} = 2\times1\times0{,}6 = 1{,}2\\ \text{km/s}.

Resposta

A velocidade do feixe sobre a praia, nesse ponto, é 1{,}2\\ \mathrm{km/s}.

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