Exercício 19. Considere os sistemas seguintes nas incógnitas x e y. Para quais valores de a o sistemas dado tem solução única e para quais pares de valores ( a, b ) o sistema tem mais do que uma solução?
x+a y=3
2 x+5 y=b

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear em (x,y) que depende de dois parâmetros a e b:
\begin{cases} x + a\,y = 3,\\\\ 2x + 5\,y = b. \end{cases}
O conteúdo é classificação de sistemas lineares pelo determinante da matriz de coeficientes. Vamos usar o cálculo do determinante para ver quando há solução única (det ≠ 0) e quando ele anula (det = 0), daí checar consistência para infinitas soluções.

Passo 2

A matriz dos coeficientes é
\begin{pmatrix} 1 & a\\\\ 2 & 5 \end{pmatrix},
cujo determinante é
\det = 1\cdot 5 \;-\; 2\cdot a \;=\; 5 - 2a.
Se \det\neq 0, o sistema tem solução única. Logo,
5 - 2a \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a \neq \tfrac{5}{2}.

Passo 3

Quando a = \tfrac{5}{2}, o determinante zera e as retas podem ser paralelas (sem solução) ou coincidentes (infinitas soluções). Para checar coincidência, multiplicamos a primeira equação por 2:
2\bigl(x + \tfrac{5}{2}y\bigr)=2\cdot 3 \quad\Longrightarrow\quad 2x + 5y = 6.
Para que seja exatamente a segunda equação, precisamos de b=6. Assim, se a=\tfrac{5}{2} e b=6, as duas equações coincidem, gerando infinitas soluções.

Resposta

Os valores de a que garantem solução única são
a \neq \tfrac{5}{2}.
O sistema tem mais de uma solução justamente quando
a = \tfrac{5}{2} \quad\text{e}\quad b = 6.

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