Exercício 24. Resolva
\begin{array}{r} x+2 y-3 z+2 t=2 \\\\ 2 x+5 y-8 z+6 t=5 \\\\ 3 x+4 y-5 z+2 t=4 \end{array}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} x + 2y - 3z + 2t = 2,\\\\ 2x + 5y - 8z + 6t = 5,\\\\ 3x + 4y - 5z + 2t = 4, \end{cases}
que é um sistema com três equações e quatro incógnitas (x,y,z,t). O conteúdo aqui é eliminação de Gauss e parametrização de soluções, já que normalmente teremos infinitas soluções (mais variáveis que equações).

Passo 2

Vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -3 & 2 & 2\\\\ 2 & 5 & -8 & 6 & 5\\\\ 3 & 4 & -5 & 2 & 4 \end{array}\right].

Passo 3

Eliminamos x das linhas 2 e 3 usando a linha 1:
  • L2 \leftarrow L2 -2;L1:
(2-2\cdot1,\;5-2\cdot2,\;-8-2\cdot(-3),\;6-2\cdot2,\;5-2\cdot2) =(0,1,-2,2,1).
  • L3 \leftarrow L3 -3;L1:
(3-3\cdot1,\;4-3\cdot2,\;-5-3\cdot(-3),\;2-3\cdot2,\;4-3\cdot2) =(0,-2,4,-4,-2).
Agora a matriz é
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -3 & 2 & 2\\\\ 0 & 1 & -2 & 2 & 1\\\\ 0 & -2 & 4 & -4 & -2 \end{array}\right].

Passo 4

Somamos 2 vezes a linha 2 na linha 3 para zerar o pivô de y em L3:
\text{L3}\leftarrow\text{L3}+2\cdot\text{L2} \;\Longrightarrow\;(0,0,0,0,0).
Isso mostra que a terceira equação é redundante. Ficamos apenas com
\begin{cases} x + 2y - 3z + 2t = 2,\\\ y - 2z + 2t = 1. \end{cases}
Como há quatro variáveis e apenas duas equações independentes, teremos dois parâmetros livres.

Passo 5

Escolhemos
\displaystyle z = \lambda e \displaystyle t = \mu
como parâmetros livres. Substituindo na segunda equação:
y - 2\lambda + 2\mu = 1 \quad\Longrightarrow\quad y = 1 + 2\lambda - 2\mu.
Agora usamos a primeira equação para x:
x + 2y - 3\lambda + 2\mu = 2 \;\Longrightarrow\; x + 2(1+2\lambda -2\mu) -3\lambda +2\mu =2 \;\Longrightarrow\; x = -\lambda +2\mu.

Passo 6

Reunindo tudo, a solução geral é
\begin{cases} x = -\lambda + 2\mu,\\\ y = 1 + 2\lambda - 2\mu,\\\ z = \lambda,\\\ t = \mu, \end{cases}
onde \lambda,\mu\in\mathbb{R}.

Resposta

(x,y,z,t) = \bigl(-\lambda + 2\mu,\;1 + 2\lambda - 2\mu,\;\lambda,\;\mu\bigr), \quad \lambda,\mu\in\mathbb{R}.

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