EXERCÍCIO 1.19 Qual é a densidade de carga \rho(r) de uma região onde o campo elétrico é dado por \vec{E}=\alpha r e^{-\beta r} \hat{r}, com \alpha e \beta constantes?

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico
\vec{E}=\alpha r e^{-\beta r}\,\hat{r},
com \alpha e \beta constantes, e pede a densidade de carga \rho(r) que gera esse campo. Informações relevantes fornecidas:
  • O campo é radial (apenas componente na direção \hat{r}) e depende somente da distância radial r.
  • Quer-se \rho(r), a densidade de carga em função de r.

Passo 2

A lei de Gauss no seu formato local (forma diferencial) relaciona o divergente do campo elétrico com a densidade de carga:
\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0},
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. Assim, para achar \rho(r) basta calcular \nabla\cdot\vec{E} e multiplicar por \varepsilon_0:
\rho(r)=\varepsilon_0\,\nabla\cdot\vec{E}.

Passo 3

Para campos apenas radiais e com simetria esférica (ou seja, \vec{E}=E_r(r)\,\hat{r}), há uma fórmula simples para o divergente:
\nabla\cdot\vec{E}=\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\big(r^2 E_r(r)\big).
Explicação intuitiva rápida (útil na prova): o fluxo através de uma esfera de raio r é \Phi=4\pi r^2 E_r(r). A taxa de variação do fluxo por unidade de volume (4\pi r^2 dr) dá o divergente, e isso leva à fórmula acima.

Passo 4

Identificar E_r(r) a partir do enunciado:
E_r(r)=\alpha r e^{-\beta r}.
Calcular r^2 E_r(r):
r^2 E_r(r)=r^2\cdot(\alpha r e^{-\beta r})=\alpha r^3 e^{-\beta r}.

Passo 5

Calcular a derivada \dfrac{d}{dr}\big(r^2 E_r(r)\big)=\dfrac{d}{dr}\big(\alpha r^3 e^{-\beta r}\big). Usamos a regra do produto:
\frac{d}{dr}\big(\alpha r^3 e^{-\beta r}\big) =\alpha\left(\frac{d}{dr}r^3\right)e^{-\beta r}+\alpha r^3\frac{d}{dr}\big(e^{-\beta r}\big).
Agora as derivadas:
\frac{d}{dr}r^3=3r^2,\qquad \frac{d}{dr}e^{-\beta r}=-\beta e^{-\beta r}.
Substituindo:
\frac{d}{dr}\big(\alpha r^3 e^{-\beta r}\big)=\alpha\big(3r^2 e^{-\beta r}-\beta r^3 e^{-\beta r}\big) =\alpha e^{-\beta r} r^2(3-\beta r).

Passo 6

Aplicar a fórmula do divergente:
\nabla\cdot\vec{E}=\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\big(r^2 E_r(r)\big) =\frac{1}{r^2}\cdot\big(\alpha e^{-\beta r} r^2(3-\beta r)\big) =\alpha e^{-\beta r}(3-\beta r).

Passo 7

Finalmente obter a densidade de carga multiplicando por \varepsilon_0:
\rho(r)=\varepsilon_0\,\nabla\cdot\vec{E} =\varepsilon_0\alpha e^{-\beta r}(3-\beta r).
Observações úteis para prova: este resultado é válido para r\ge0. No limite r\to0 tem-se \rho(0)=3\varepsilon_0\alpha, finito, então não aparece termo singular tipo delta no centro para este campo (o campo é bem comportado em r=0).

Resposta

\rho(r)=\varepsilon_{0}\,\alpha\,e^{-\beta r}\bigl(3-\beta r\bigr)

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