EXERCÍCIO 1.19 Qual é a densidade de carga
de uma região onde o campo elétrico é dado por
, com
e
constantes?
Passo 1
O enunciado dá o campo elétrico
com
e
constantes, e pede a densidade de carga
que gera esse campo. Informações relevantes fornecidas:
- O campo é radial (apenas componente na direção
) e depende somente da distância radial . - Quer-se
, a densidade de carga em função de .
Passo 2
A lei de Gauss no seu formato local (forma diferencial) relaciona o divergente do campo elétrico com a densidade de carga:
onde
é a permissividade do vácuo. Assim, para achar
basta calcular
e multiplicar por
:
Passo 3
Para campos apenas radiais e com simetria esférica (ou seja,
), há uma fórmula simples para o divergente:
Explicação intuitiva rápida (útil na prova): o fluxo através de uma esfera de raio
é
. A taxa de variação do fluxo por unidade de volume
dá o divergente, e isso leva à fórmula acima.
Passo 4
Identificar
a partir do enunciado:
Calcular
:
Passo 5
Calcular a derivada
. Usamos a regra do produto:
Agora as derivadas:
Substituindo:
Passo 6
Aplicar a fórmula do divergente:
Passo 7
Finalmente obter a densidade de carga multiplicando por
:
Observações úteis para prova: este resultado é válido para
. No limite
tem-se
, finito, então não aparece termo singular tipo delta no centro para este campo (o campo é bem comportado em
).