EXERCÍCIO 1.18 Aplican do a lei de Gauss na forma integral a um a esfera sólida de raio
uniformemente carregada com carga
, mostre que o seu campo elétrico
é dado por
e então calcule
para
e
. Interprete o resultado.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Mostrar que o campo elétrico de uma esfera sólida de raio
com carga total distribuída uniformemente é
- Calcular
para as regiões e e interpretar o resultado.
Informações relevantes fornecidas ou que precisamos usar:
- A esfera é sólida, raio
, carga total distribuída uniformemente no volume interno. - A permissividade do vácuo é
. - Devido à simetria esférica, o campo será radial e depende só de
: .
Passo 2
Calcular a densidade volumétrica de carga
(pois a carga é uniforme):
A expressão da densidade é carga total dividida pelo volume da esfera. O volume da esfera de raio é
. Logo
A expressão da densidade é carga total dividida pelo volume da esfera. O volume da esfera de raio
Explicando:
tem unidades de carga por volume e é constante dentro da esfera.
Passo 3
Lembrar e aplicar a Lei de Gauss (forma integral) e a simetria:
A Lei de Gauss em forma integral diz que, para uma superfície fechada que envolve volume
,
A Lei de Gauss em forma integral diz que, para uma superfície fechada
onde
é a carga total dentro de
.
Pela simetria esférica, escolhemos como superfície gaussiana uma esfera de raio
, coaxial com a distribuição. Nessa superfície o campo é radial, tem o mesmo módulo em todo o contorno, e a área superficial é
. Assim
Passo 4
Caso
(ponto dentro da esfera): calcular a carga encerrada
e obter
.
A carga encerrada por uma esfera de raio é a densidade
vezes o volume da esfera de raio
:
A carga encerrada por uma esfera de raio
Substituindo
obtemos
Aplicando a Lei de Gauss:
Isolando
:
Portanto, em vetor:
Comentário didático: o campo cresce linearmente com
dentro de uma esfera com densidade uniforme — intuitivamente porque ao aproximar-se do centro há menos carga encerrada proporcional a
, e o fator
do fluxo faz o campo proporcional a
.
Passo 5
Caso
(ponto fora da esfera): carga encerrada é toda a carga
.
Para a carga encerrada é simplesmente
. Aplicando Gauss:
Para
Isolando
obtemos
Em vetor:
Comentário: fora da esfera o campo é o mesmo de uma carga pontual
colocada no centro — é consequência clássica da simetria esférica.
Passo 6
Preparar a fórmula para calcular a divergência de um campo radial em coordenadas esféricas:
Para um campo que só tem componente radial (dependendo apenas de
),
a divergência em coordenadas esféricas reduz-se à fórmula
Para um campo que só tem componente radial
a divergência em coordenadas esféricas reduz-se à fórmula
Breve justificativa: esta expressão vem da forma geral da divergência em coordenadas esféricas; fisicamente pode ser entendida como a variação do fluxo por unidade de volume de uma casca esférica.
Passo 7
Calcular
para
.
Temos . Então
Temos
Derivando em relação a
:
Dividindo por
conforme a fórmula da divergência:
Reconhecendo a densidade
, obtemos
Passo 8
Calcular
para
.
Aqui . Então
Aqui
que é constante em
. Portanto
e assim
Observação sobre
: no ponto exatamente na superfície
a derivada pode ser descontínua (a densidade salta de
para
), então a divergência clássica aí pode ser considerada indefinida; mas em sentido integral (teorema da divergência) tudo fica consistente com a carga total
.
Passo 9
Interpretação física do resultado:
- Para
: . Isso é exatamente a forma diferencial da Lei de Gauss (equação de Maxwell): cargas volumétricas atuam como fontes do campo elétrico; a divergência positiva indica saída de linhas de campo (carga positiva) por unidade de volume. - Para
: . Fora da distribuição de carga não há fontes locais, então o campo é livre (sem divergência). Ainda assim o campo não é nulo — ele foi gerado pelas cargas internas, mas localmente não há densidade de carga ali. - A consistência entre a forma integral (usada para achar
) e a forma diferencial (divergência) é um bom cheque: integrar sobre o volume interno dá vezes a carga total interna, conforme o teorema da divergência.