EXERCÍCIO 1.18 Aplican do a lei de Gauss na forma integral a um a esfera sólida de raio a uniformemente carregada com carga Q, mostre que o seu campo elétrico \vec{E} é dado por
\begin{aligned} \vec{E} & =\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q r}{a^{3}} \hat{r} \quad(r<a), \\\ \vec{E} & =\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Q}{r^{2}} \hat{r} \quad(r \geq a), \end{aligned}
e então calcule \vec{\nabla} \cdot \vec{E} para r<a e r \geq a. Interprete o resultado.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Mostrar que o campo elétrico de uma esfera sólida de raio a com carga total Q distribuída uniformemente é
\vec{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Q\,r}{a^{3}}\hat{r}\quad(r<a), \qquad \vec{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Q}{r^{2}}\hat{r}\quad(r\ge a).
  • Calcular \vec{\nabla}\cdot\vec{E} para as regiões r<a e r\ge a e interpretar o resultado.
Informações relevantes fornecidas ou que precisamos usar:
  • A esfera é sólida, raio a, carga total Q distribuída uniformemente no volume interno.
  • A permissividade do vácuo é \epsilon_{0}.
  • Devido à simetria esférica, o campo será radial e depende só de r: \vec{E}=E_{r}(r)\,\hat r.

Passo 2

Calcular a densidade volumétrica de carga \rho (pois a carga é uniforme):
A expressão da densidade é carga total dividida pelo volume da esfera. O volume da esfera de raio a é \tfrac{4}{3}\pi a^{3}. Logo
\rho=\frac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi a^{3}}=\frac{3Q}{4\pi a^{3}}.
Explicando: \rho tem unidades de carga por volume e é constante dentro da esfera.

Passo 3

Lembrar e aplicar a Lei de Gauss (forma integral) e a simetria:
A Lei de Gauss em forma integral diz que, para uma superfície fechada S que envolve volume V,
\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{1}{\epsilon_{0}}Q_{\text{int}},
onde Q_{\text{int}} é a carga total dentro de S.
Pela simetria esférica, escolhemos como superfície gaussiana uma esfera de raio r, coaxial com a distribuição. Nessa superfície o campo é radial, tem o mesmo módulo em todo o contorno, e a área superficial é 4\pi r^{2}. Assim
\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{A}=E_{r}(r)\,4\pi r^{2}.

Passo 4

Caso r<a (ponto dentro da esfera): calcular a carga encerrada Q_{\text{int}} e obter E.
A carga encerrada por uma esfera de raio r<a é a densidade \rho vezes o volume da esfera de raio r:
Q_{\text{int}}=\rho\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}.
Substituindo \rho=\dfrac{3Q}{4\pi a^{3}} obtemos
Q_{\text{int}}=\frac{3Q}{4\pi a^{3}}\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}=Q\frac{r^{3}}{a^{3}}.
Aplicando a Lei de Gauss:
E_{r}(r)\,4\pi r^{2}=\frac{1}{\epsilon_{0}}\,Q\frac{r^{3}}{a^{3}}.
Isolando E_{r}(r):
E_{r}(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Q\,r}{a^{3}}.
Portanto, em vetor:
\vec{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Q\,r}{a^{3}}\hat r\qquad(r<a).
Comentário didático: o campo cresce linearmente com r dentro de uma esfera com densidade uniforme — intuitivamente porque ao aproximar-se do centro há menos carga encerrada proporcional a r^{3}, e o fator 1/r^{2} do fluxo faz o campo proporcional a r.

Passo 5

Caso r\ge a (ponto fora da esfera): carga encerrada é toda a carga Q.
Para r\ge a a carga encerrada é simplesmente Q_{\text{int}}=Q. Aplicando Gauss:
E_{r}(r)\,4\pi r^{2}=\frac{1}{\epsilon_{0}}Q.
Isolando E_{r}(r) obtemos
E_{r}(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Q}{r^{2}}.
Em vetor:
\vec{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Q}{r^{2}}\hat r\qquad(r\ge a).
Comentário: fora da esfera o campo é o mesmo de uma carga pontual Q colocada no centro — é consequência clássica da simetria esférica.

Passo 6

Preparar a fórmula para calcular a divergência de um campo radial em coordenadas esféricas:
Para um campo que só tem componente radial E_{r}(r) (dependendo apenas de r),
a divergência em coordenadas esféricas reduz-se à fórmula
\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\big(r^{2}E_{r}(r)\big).
Breve justificativa: esta expressão vem da forma geral da divergência em coordenadas esféricas; fisicamente pode ser entendida como a variação do fluxo por unidade de volume de uma casca esférica.

Passo 7

Calcular \vec{\nabla}\cdot\vec{E} para r<a.
Temos E_{r}(r)=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{Q\,r}{a^{3}}. Então
r^{2}E_{r}(r)=r^{2}\cdot\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Q\,r}{a^{3}} =\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Q\,r^{3}}{a^{3}}.
Derivando em relação a r:
\frac{d}{dr}\big(r^{2}E_{r}(r)\big)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Q\cdot 3r^{2}}{a^{3}}.
Dividindo por r^{2} conforme a fórmula da divergência:
\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=\frac{1}{r^{2}}\cdot\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{3Q\,r^{2}}{a^{3}} =\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{3Q}{a^{3}}.
Reconhecendo a densidade \rho=\dfrac{3Q}{4\pi a^{3}}, obtemos
\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_{0}}\qquad(r<a).

Passo 8

Calcular \vec{\nabla}\cdot\vec{E} para r>a.
Aqui E_{r}(r)=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{Q}{r^{2}}. Então
r^{2}E_{r}(r)=r^{2}\cdot\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Q}{r^{2}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}Q,
que é constante em r. Portanto
\frac{d}{dr}\big(r^{2}E_{r}(r)\big)=0,
e assim
\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=0\qquad(r> a).
Observação sobre r=a: no ponto exatamente na superfície r=a a derivada pode ser descontínua (a densidade salta de \rho para 0), então a divergência clássica aí pode ser considerada indefinida; mas em sentido integral (teorema da divergência) tudo fica consistente com a carga total Q.

Passo 9

Interpretação física do resultado:
  • Para r<a: \vec{\nabla}\cdot\vec{E}=\rho/\epsilon_{0}. Isso é exatamente a forma diferencial da Lei de Gauss (equação de Maxwell): cargas volumétricas atuam como fontes do campo elétrico; a divergência positiva indica saída de linhas de campo (carga positiva) por unidade de volume.
  • Para r>a: \vec{\nabla}\cdot\vec{E}=0. Fora da distribuição de carga não há fontes locais, então o campo é livre (sem divergência). Ainda assim o campo não é nulo — ele foi gerado pelas cargas internas, mas localmente não há densidade de carga ali.
  • A consistência entre a forma integral (usada para achar \vec{E}) e a forma diferencial (divergência) é um bom cheque: integrar \vec{\nabla}\cdot\vec{E} sobre o volume interno dá \tfrac{1}{\epsilon_{0}} vezes a carga total interna, conforme o teorema da divergência.

Resposta

\displaystyle \vec{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Q\,r}{a^{3}}\hat r\quad(r<a),\qquad \vec{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Q}{r^{2}}\hat r\quad(r\ge a)
\displaystyle \vec{\nabla}\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_{0}}=\frac{3Q}{4\pi\epsilon_{0}a^{3}}\quad(r<a),\qquad \vec{\nabla}\cdot\vec{E}=0\quad(r> a)

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