Exercício 19.2.1. Encontre uma base de autovetores para os operadores a seguir
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por T(x, y)=(x+y, x-y)

Passo 1

O enunciado pede uma base de autovetores para o operador linear
T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\quad T(x,y) = (x+y,\;x-y).
O conteúdo aqui é diagonalização de matrizes: vamos representar T por sua matriz na base canônica, achar os autovalores resolvendo o polinômio característico e em seguida obter os autovetores associados.

Passo 2

Na base canônica \{e_1,e_2\} temos
T(1,0) = (1,1),\quad T(0,1) = (1,-1),
logo a matriz de T é
A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 1 & -1\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}1-\lambda & 1 \\[6pt]1 & -1-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)(-1-\lambda) - 1 = \lambda^2 - 2.
Portanto os autovalores satisfazem
\lambda^2 - 2 = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad \lambda = \pm \sqrt{2}.]

Passo 4

Para \lambda = \sqrt{2}, resolvemos (A - \sqrt{2}I)v = 0, isto é
\begin{pmatrix} 1-\sqrt{2} & 1 \\[4pt] 1 & -1-\sqrt{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha vem (1-\sqrt{2})x + y =0, então
y = (\sqrt{2}-1)x.
Escolhendo x=1, um autovetor correspondente é
v_1 = \begin{pmatrix}1 \\[2pt] \sqrt{2}-1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Para \lambda = -\sqrt{2}, resolvemos (A + \sqrt{2}I)v=0, obtendo
\begin{pmatrix} 1+\sqrt{2} & 1 \\[4pt] 1 & -1+\sqrt{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad y = -\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)x.
Escolhendo x=1, um autovetor correspondente é
v_2 = \begin{pmatrix}1 \\[2pt] -\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)\end{pmatrix}.]

Resposta

Uma base de autovetores de T é
\left\{ \begin{pmatrix}1 \\[2pt] \sqrt{2}-1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \\[2pt] -\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)\end{pmatrix} \right\}.]

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