Exercício 19.2.1. Encontre uma base de autovetores para os operadores a seguir T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por T(x, y, z)=(x+y, y-z, z-x)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma base de autovetores do operador linear
O conteúdo envolve: (i) representar T por uma matriz na base canônica, (ii) calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I), (iii) achar os autovalores, e (iv) resolver (A-\lambda I)v=0 para cada \lambda.
Portanto o espaço próprio em \mathbb{R}^3 é unidimensional.
Passo 6
Concluímos que, em \mathbb{R}^3, só há um autovalor real (2) com multiplicidade algébrica 1 e o espaço próprio tem dimensão 1. Logo não existe uma base de \mathbb{R}^3 composta inteiramente de autovetores reais de T.
Resposta
O único autovalor real é \lambda=2 e seu autovetor gera o subespaço próprio. Uma base de autovetores (do espaço próprio) é
\{(1,1,-1)\}.
Em particular, T não é diagonalizável sobre \mathbb{R} pois falta um conjunto de três autovetores reais independentes.