Exercício 19 (Paralelepípedo) Considere-se um paralelepípedo A B C D E F G H.
Expressar em função dos vetores \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A E} os seguintes vetores: \overrightarrow{A C}, \quad \overrightarrow{A H}
\overrightarrow{A G}, \overrightarrow{H B} e \overrightarrow{H C}.

Passo 1

O enunciado descreve um paralelepípedo A B C D E F G H em que queremos escrever os vetores \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A H}, \overrightarrow{A G}, \overrightarrow{H B} e \overrightarrow{H C} em função de \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D} e \overrightarrow{A E}. O que vamos usar é o princípio da adição de vetores e as propriedades dos paralelogramos.

Passo 2

Como A B C D é um paralelogramo, os vetores \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{A D} somados nos levam de A a C. Logo,
\overrightarrow{A C} = \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{A D}.

Passo 3

Na face A D H E também formamos um paralelogramo, e assim
\overrightarrow{A H} = \overrightarrow{A D} + \overrightarrow{A E}.

Passo 4

O ponto G é o “topo” de C sobre a aresta paralela a A E. Logo, para ir de A a G basta ir de A a C e depois de C a G, mas \overrightarrow{C G} = \overrightarrow{A E}. Portanto,
\overrightarrow{A G} = \overrightarrow{A C} + \overrightarrow{C G} = (\overrightarrow{A B} + \overrightarrow{A D}) + \overrightarrow{A E} = \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{A D} + \overrightarrow{A E}.

Passo 5

Para \overrightarrow{H B} usamos a relação geral \overrightarrow{H B} = -\overrightarrow{A H} + \overrightarrow{A B}. Substituindo \overrightarrow{A H} = \overrightarrow{A D} + \overrightarrow{A E} obtém-se
\overrightarrow{H B} = -(\overrightarrow{A D} + \overrightarrow{A E}) + \overrightarrow{A B} = \overrightarrow{A B} - \overrightarrow{A D} - \overrightarrow{A E}.

Passo 6

De modo similar,
\overrightarrow{H C} = -\overrightarrow{A H} + \overrightarrow{A C} = -(\overrightarrow{A D} + \overrightarrow{A E}) + (\overrightarrow{A B} + \overrightarrow{A D}) = \overrightarrow{A B} - \overrightarrow{A E}.

Resposta

\displaystyle \overrightarrow{A C} = \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{A D} \displaystyle \overrightarrow{A H} = \overrightarrow{A D} + \overrightarrow{A E} \displaystyle \overrightarrow{A G} = \overrightarrow{A B} + \overrightarrow{A D} + \overrightarrow{A E} \displaystyle \overrightarrow{H B} = \overrightarrow{A B} - \overrightarrow{A D} - \overrightarrow{A E} \displaystyle \overrightarrow{H C} = \overrightarrow{A B} - \overrightarrow{A E}

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