Exercício 4.8.19. Seja F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a aplicação linear tal que
F(x, y, z)=(2 x, y, 0)
a) Determinar \operatorname{Ker} F e \operatorname{Im} F, especificando as dimensões e exibindo respectivas bases.
b) Calcular a matriz representativa M_{F}^{\mathcal{B}_{3}} de F com respeito à base canônica \mathcal{B}_{3}.
c) Usar a matriz M_{F}^{\mathcal{B}_{3}} para calcular a imagem do vetor (2,-1,1).
d) Calcular a matriz representativa M_{F}^{\mathcal{Y}} de F com respeito à base \mathcal{Y}=\{(1,0,1),(0,1,-1),(1,1,-1)\}.
e) Usar a matriz M_{F}^{\mathcal{Y}} para calcular a imagem do vetor (2,-1,1).
f) Calcular a matriz representativa M_{F}^{\mathcal{Y}, \mathcal{B}} de F com respeito às bases \mathcal{Y}=\{(1,0,1),(0,1,-1),(1,1,-1)\} e \mathcal{B}_{3}.
g) Usar a matriz M_{F}^{\mathcal{Y}, \mathcal{B}} para calcular a imagem do vetor (2,-1,1).

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear
F\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,\quad F(x,y,z)=(2x,y,0),
e pede:
a) núcleo e imagem (dimensões e bases),
b) matriz de F na base canônica \mathcal{B}_3,
c) usar essa matriz para calcular F(2,-1,1),
d) matriz de F na base \mathcal{Y}=\{(1,0,1),(0,1,-1),(1,1,-1)\},
e) usar essa matriz para calcular F(2,-1,1),
f) matriz de F de \mathcal{Y} (domínio) para \mathcal{B}_3 (contradomínio),
g) usar essa última matriz em F(2,-1,1).
Vamos aplicar definição de núcleo e imagem, formação de matrizes pela ação em vetores de base, e mudança de base via coordenadas.

Passo 2

Para achar \operatorname{Ker}F resolvemos
F(x,y,z)=(0,0,0)\;\Longleftrightarrow\;(2x,y,0)=(0,0,0),
logo 2x=0, y=0, e z livre. Assim
\operatorname{Ker}F=\{(0,0,z)\mid z\in\mathbb{R}\}=\Span\{(0,0,1)\}, \dim\operatorname{Ker}F=1. Para \operatorname{Im}F, todo vetor é (2x,y,0) para x,y quaisquer, isto é
\operatorname{Im}F=\{(u,v,0)\mid u,v\in\mathbb{R}\}=\Span\{(1,0,0),(0,1,0)\}, \dim\operatorname{Im}F=2.

Passo 3

Na base canônica \mathcal{B}_3=\{e_1,e_2,e_3\} temos
F(e_1)=F(1,0,0)=(2,0,0),\quad F(e_2)=(0,1,0),\quad F(e_3)=(0,0,0).
Portanto a matriz de F em \mathcal{B}_3 é
M_F^{\mathcal{B}_3} =\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para calcular F(2,-1,1) usamos
\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\cdot2+0+0\\\ 0+1\cdot(-1)+0\\\ 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 5

Na base \mathcal{Y}=\{y_1,y_2,y_3\} com
y_1=(1,0,1),\;y_2=(0,1,-1),\;y_3=(1,1,-1),
primeiro calculamos as imagens em coordenadas de \mathcal{Y}. Para cada j, achamos coeficientes c_{1},c_{2},c_{3} tais que
F(y_j)=c_{1}y_1+c_{2}y_2+c_{3}y_3.
Fazendo isso para j=1,2,3 obtém-se
F(y_1)=(2,0,0)\mapsto \begin{pmatrix}0\\\ -2\\\ 2\end{pmatrix},\quad F(y_2)=(0,1,0)\mapsto \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ -1\end{pmatrix},\quad F(y_3)=(2,1,0)\mapsto \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Logo
M_F^{\mathcal{Y}} =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ -2 & 2 & 0\\\\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix},
cuja j-ésima coluna são as coordenadas de F(y_j) em \mathcal{Y}.

Passo 6

Para usar M_F^{\mathcal{Y}} em v=(2,-1,1), primeiro expressamos v em \mathcal{Y}, isto é achamos (a_1,a_2,a_3) tais que
a_1y_1+a_2y_2+a_3y_3=(2,-1,1),
o que dá (a_1,a_2,a_3)=(0,-3,2). Então
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ -2 & 2 & 0\\\\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\\ -3\\\ 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\\ -6\\\ 5\end{pmatrix}
são as coordenadas de F(v) em \mathcal{Y}. Convertendo de volta ao canônico, obtemos (4,-1,0).

Passo 7

Para a matriz de F que toma coordenadas em \mathcal{Y} no domínio e retorna coordenadas na base canônica \mathcal{B}_3, basta expressar F(y_j) no canônico:
F(y_1)=(2,0,0),\; F(y_2)=(0,1,0),\; F(y_3)=(2,1,0).
Portanto
M_F^{\mathcal{Y},\mathcal{B}_3} =\begin{pmatrix} 2 & 0 & 2\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 8

Finalmente, para v=(2,-1,1) usamos sua coordenada em \mathcal{Y}, que é (0,-3,2), e
\begin{pmatrix} 2 & 0 & 2\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\\ -3\\\ 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix},
confirmando F(v)=(4,-1,0).

Resposta

a) \operatorname{Ker}F=\Span\{(0,0,1)\},\\ \dim=1;\quad \operatorname{Im}F=\Span\{(1,0,0),(0,1,0)\},\\ \dim=2.
b)
M_F^{\mathcal{B}_3} =\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
c) F(2,-1,1)=(4,-1,0).
d)
M_F^{\mathcal{Y}} =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ -2 & 2 & 0\\\\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
e) Coordenadas de F(2,-1,1) em \mathcal{Y} são \begin{pmatrix}-1\\\ -6\\\ 5\end{pmatrix}, o que corresponde a (4,-1,0) no canônico.
f)
M_F^{\mathcal{Y},\mathcal{B}_3} =\begin{pmatrix} 2 & 0 & 2\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
g) Aplicando-a em (2,-1,1) (usando coord.\ em \mathcal{Y}) retorna (4,-1,0).

Exercícios relacionados