Exercício 4.8.19. Seja F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a aplicação linear tal que
F(x, y, z)=(2 x, y, 0)
a) Determinar \operatorname{Ker} F e \operatorname{Im} F, especificando as dimensões e exibindo respectivas bases.
b) Calcular a matriz representativa M_{F}^{\mathcal{B}_{3}} de F com respeito à base canônica \mathcal{B}_{3}.
c) Usar a matriz M_{F}^{\mathcal{B}_{3}} para calcular a imagem do vetor (2,-1,1).
d) Calcular a matriz representativa M_{F}^{\mathcal{Y}} de F com respeito à base \mathcal{Y}=\{(1,0,1),(0,1,-1),(1,1,-1)\}.
e) Usar a matriz M_{F}^{\mathcal{Y}} para calcular a imagem do vetor (2,-1,1).
f) Calcular a matriz representativa M_{F}^{\mathcal{Y}, \mathcal{B}} de F com respeito às bases \mathcal{Y}=\{(1,0,1),(0,1,-1),(1,1,-1)\} e \mathcal{B}_{3}.
g) Usar a matriz M_{F}^{\mathcal{Y}, \mathcal{B}} para calcular a imagem do vetor (2,-1,1).
e pede:
a) núcleo e imagem (dimensões e bases),
b) matriz de F na base canônica \mathcal{B}_3,
c) usar essa matriz para calcular F(2,-1,1),
d) matriz de F na base \mathcal{Y}=\{(1,0,1),(0,1,-1),(1,1,-1)\},
e) usar essa matriz para calcular F(2,-1,1),
f) matriz de F de \mathcal{Y} (domínio) para \mathcal{B}_3 (contradomínio),
g) usar essa última matriz em F(2,-1,1).
Vamos aplicar definição de núcleo e imagem, formação de matrizes pela ação em vetores de base, e mudança de base via coordenadas.
\operatorname{Ker}F=\{(0,0,z)\mid z\in\mathbb{R}\}=\Span\{(0,0,1)\},\dim\operatorname{Ker}F=1. Para \operatorname{Im}F, todo vetor é (2x,y,0) para x,y quaisquer, isto é
são as coordenadas de F(v) em \mathcal{Y}. Convertendo de volta ao canônico, obtemos (4,-1,0).
Passo 7
Para a matriz de F que toma coordenadas em \mathcal{Y} no domínio e retorna coordenadas na base canônica \mathcal{B}_3, basta expressar F(y_j) no canônico: