Exercício 4.8.20. Seja F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} a aplicação linear tal que
F(x, y, z)=(2 x, y+z)
a) Determinar \operatorname{Ker} F e \operatorname{Im} F, especificando as dimensões e exibindo respectivas bases.
b) Calcular a matriz representativa M_{F}^{\mathcal{B}_{3}, \mathcal{B}_{2}} de F com respeito às bases canônicas \mathcal{B}_{3} e \mathcal{B}_{2}.
c) Usar a matriz M_{F}^{\mathcal{B}_{3}, \mathcal{B}_{2}} para calcular a imagem do vetor (1,1,1).
d) Calcular a matriz representativa M_{F}^{\mathcal{Y}, \mathcal{B}_{2}} de F com respeito às bases \mathcal{Y}=\{(2,1,0),(0,1,0),(1,0,1)\} e \mathcal{B}_{2}.
e) Usar a matriz M_{F}^{\mathcal{Y}, \mathcal{B}_{2}} para calcular a imagem do vetor (1,1,1).
Pedem:
a) \ker F e \Im F com dimensões e bases;
b) matriz de F nas bases canônicas \mathcal{B}_3 e \mathcal{B}_2;
c) usar essa matriz para calcular F(1,1,1);
d) matriz de F da base \mathcal{Y}=\{(2,1,0),(0,1,0),(1,0,1)\} em \mathbb{R}^3 para \mathcal{B}_2;
e) usar essa segunda matriz para calcular F(1,1,1) de novo.
Passo 2
Para achar \ker F resolvemos
F(x,y,z)=(0,0)\;\Longrightarrow\;2x=0,\;y+z=0.
Daí x=0 e z=-y, logo
\ker F = \{(0,y,-y)\mid y\in\mathbb{R}\} = \span\{(0,1,-1)\},
com \dim\ker F=1 e base \{(0,1,-1)\}.
Passo 3
Para \Im F, note que as coordenadas (2x,y+z) variam livremente em ambos os componentes (basta variar x,y,z em \mathbb{R}). Alternativamente,
F(e_1)=(2,0),\;F(e_2)=(0,1),\;F(e_3)=(0,1),
de modo que
\Im F = \span\{(2,0),(0,1)\} = \mathbb{R}^2,
com \dim\Im F=2. Uma base natural é \{(1,0),(0,1)\} ou \{(2,0),(0,1)\}.
Passo 4
Na base canônica \mathcal{B}_3=\{e_1,e_2,e_3\} de \mathbb{R}^3 e \mathcal{B}_2=\{f_1,f_2\} de \mathbb{R}^2, a matriz M_{F}^{\mathcal{B}_3,\mathcal{B}_2} tem colunas F(e_1),F(e_2),F(e_3):