Exercício 4.8.20. Seja F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} a aplicação linear tal que
F(x, y, z)=(2 x, y+z)
a) Determinar \operatorname{Ker} F e \operatorname{Im} F, especificando as dimensões e exibindo respectivas bases.
b) Calcular a matriz representativa M_{F}^{\mathcal{B}_{3}, \mathcal{B}_{2}} de F com respeito às bases canônicas \mathcal{B}_{3} e \mathcal{B}_{2}.
c) Usar a matriz M_{F}^{\mathcal{B}_{3}, \mathcal{B}_{2}} para calcular a imagem do vetor (1,1,1).
d) Calcular a matriz representativa M_{F}^{\mathcal{Y}, \mathcal{B}_{2}} de F com respeito às bases \mathcal{Y}=\{(2,1,0),(0,1,0),(1,0,1)\} e \mathcal{B}_{2}.
e) Usar a matriz M_{F}^{\mathcal{Y}, \mathcal{B}_{2}} para calcular a imagem do vetor (1,1,1).

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear
F\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2,\quad F(x,y,z) = (2x,\;y+z).
Pedem:
a) \ker F e \Im F com dimensões e bases;
b) matriz de F nas bases canônicas \mathcal{B}_3 e \mathcal{B}_2;
c) usar essa matriz para calcular F(1,1,1);
d) matriz de F da base \mathcal{Y}=\{(2,1,0),(0,1,0),(1,0,1)\} em \mathbb{R}^3 para \mathcal{B}_2;
e) usar essa segunda matriz para calcular F(1,1,1) de novo.

Passo 2

Para achar \ker F resolvemos
F(x,y,z)=(0,0)\;\Longrightarrow\;2x=0,\;y+z=0.
Daí x=0 e z=-y, logo
\ker F = \{(0,y,-y)\mid y\in\mathbb{R}\} = \span\{(0,1,-1)\},
com \dim\ker F=1 e base \{(0,1,-1)\}.

Passo 3

Para \Im F, note que as coordenadas (2x,y+z) variam livremente em ambos os componentes (basta variar x,y,z em \mathbb{R}). Alternativamente,
F(e_1)=(2,0),\;F(e_2)=(0,1),\;F(e_3)=(0,1),
de modo que
\Im F = \span\{(2,0),(0,1)\} = \mathbb{R}^2,
com \dim\Im F=2. Uma base natural é \{(1,0),(0,1)\} ou \{(2,0),(0,1)\}.

Passo 4

Na base canônica \mathcal{B}_3=\{e_1,e_2,e_3\} de \mathbb{R}^3 e \mathcal{B}_2=\{f_1,f_2\} de \mathbb{R}^2, a matriz M_{F}^{\mathcal{B}_3,\mathcal{B}_2} tem colunas F(e_1),F(e_2),F(e_3):
M_{F}^{\mathcal{B}_3,\mathcal{B}_2} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Para calcular F(1,1,1) usamos
\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\\ 2\end{pmatrix},
logo F(1,1,1)=(2,2).

Passo 6

Na base \mathcal{Y}=\{v_1,v_2,v_3\} de \mathbb{R}^3 com v_1=(2,1,0), v_2=(0,1,0), v_3=(1,0,1), calculamos
F(v_1)=(4,1),\; F(v_2)=(0,1),\; F(v_3)=(2,1).
Como \mathcal{B}_2 é a base canônica, a matriz M_{F}^{\mathcal{Y},\mathcal{B}_2} tem colunas essas imagens:
M_{F}^{\mathcal{Y},\mathcal{B}_2} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 2\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 7

Para usar M_{F}^{\mathcal{Y},\mathcal{B}_2}\) em \((1,1,1)\), primeiro escrevemos \[(1,1,1) = c_1\,v_1 + c_2\,v_2 + c_3\,v_3.
Isso dá o sistema
\begin{cases} 2c_1 + 0c_2 + 1c_3 = 1,\\\\ 1c_1 + 1c_2 + 0c_3 = 1,\\\\ 0c_1 + 0c_2 + 1c_3 = 1, \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad (c_1,c_2,c_3)=(0,1,1).
Aplicando a matriz:
\begin{pmatrix} 4 & 0 & 2\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\\ 2\end{pmatrix},
confirmando (F(1,1,1)=(2,2)].

Resposta

a) \ker F = \span\{(0,1,-1)\}, \dim\ker F=1. \Im F = \mathbb{R}^2, \dim\Im F=2, base \{(1,0),(0,1)\}.
b)
M_{F}^{\mathcal{B}_3,\mathcal{B}_2} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
c) F(1,1,1)=(2,2).
d)
M_{F}^{\mathcal{Y},\mathcal{B}_2} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 2\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
e) Usando essa matriz, F(1,1,1)=(2,2).

Exercícios relacionados