Exercício 6.8.19. Seja A o operador que, na base canônica \mathcal{B}_{3}=\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right\} de \mathbb{R}^{3}, possui a matriz representativa
onde k è um parâmetro real. Mostrar que, para k=0 e k=2, A è diagonalizável. Em ambos os casos encontrar a matriz de passagem P que diagonaliza a matriz de A. Em qual caso P é ortogonal? Determinar uma tal matriz P ortogonal.
Passo 1
O enunciado nos dá um operador linear A em \mathbb{R}^3, cuja matriz na base canônica \mathcal{B}_3 é
Queremos determinar, para k=0 e k=2, se A é diagonalizável, encontrar as matrizes de passagem P que a diagonalizam e identificar em qual caso podemos escolher P ortogonal.
Logo os autovalores são \lambda_3=-1
e as raízes de \lambda^2+3\lambda-2k=0.
Para k=0 obtemos \{\lambda=0,\,-3\} e para k=2 obtemos \{\lambda=1,\,-4\}.
Em ambos os casos os três autovalores são distintos, logo A é diagonalizável.]
Passo 3
Caso k=0:
Os autovalores são \lambda_1=0, \lambda_2=-3, \lambda_3=-1.
Para \lambda=0: (A-0I)v=0 dá -3x+2y=0 e z=0. Tomamos v_1=(2,3,0).
Para \lambda=-3: (A+3I)v=0 dá 2y=0 e z=0. Tomamos v_2=(1,0,0).
Para \lambda=-1:
Vemos diretamente o terceiro eixo, v_3=(0,0,1).
Colocando essas colunas em P_0: