Exercício 6.8.18. Seja A o operador que, na base canônica \mathcal{B}_{3}=\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right\} de \mathbb{R}^{3}, possui a matriz representativa
Determinar os autovalores e os auto-espaços de A. Provar que os auto-espaços são dois a dois ortogonais e determinar uma matriz ortogonal N tal que N^{-1} M N seja diagonal.
Passo 1
O enunciado dá o operador A\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cuja matriz na base canônica é
Queremos (i) os autovalores \lambda de A e os autoespaços E_\lambda, (ii) mostrar que esses autoespaços são mutuamente ortogonais e (iii) encontrar uma matriz ortogonal N tal que
N^{-1}MN
seja diagonal.
Passo 2
Para achar os autovalores, calculamos o polinômio característico