Exercício 4 (20 pontos) Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, dada por
T(x, y, z)=(x+z, y+z, x+y+2 z)
(a) Obtenha os autovalores de T e os respectivos auto-espaços.
(b) T é diagonalizável?
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y,z)=(x+z,\;y+z,\;x+y+2z).
O que é pedido:
(a) Encontrar os autovalores (valores próprios) de T e os respectivos autoespaços (espaços próprios, isto é, conjuntos de vetores não nulos v tais que T(v)=\lambda v).
(b) Dizer se T é diagonalizável.
Informações relevantes dadas:
T(x,y,z)=(x+z,\;y+z,\;x+y+2z),
que nos permite obter a matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^{3} e daí calcular polinômio característico, autovalores e autoespaços.
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever a matriz de T na base canônica e_{1}=(1,0,0),\;e_{2}=(0,1,0),\;e_{3}=(0,0,1).
Calculo das imagens das bases:
T(e_{1})=T(1,0,0)=(1+0,\;0+0,\;1+0+0)=(1,0,1),
T(e_{2})=T(0,1,0)=(0+0,\;1+0,\;0+1+0)=(0,1,1),
T(e_{3})=T(0,0,1)=(0+1,\;0+1,\;0+0+2)=(1,1,2).
Então a matriz de T na base canônica é (colunas são T(e_{1}),T(e_{2}),T(e_{3})):
Das duas primeiras equações obtemos z=2x\] e \(z=2y, portanto 2x=2y\Rightarrow x=y. Substituindo x=y e z=2x na terceira equação:
x+x-2x=0,
que é satisfeita. Logo as soluções são
(x,y,z)=\big(x,x,2x\big)=x(1,1,2).
Assim o autoespaço associado a \lambda=3 é
E_{3}=\operatorname{span}\{(1,1,2)\},
também de dimensão geométrica 1.]
Passo 8
Interpretação e critério de diagonalizabilidade. Uma transformação linear em \mathbb{R}^{n} é diagonalizável se existe uma base de \mathbb{R}^{n} formada por vetores próprios (autovetores). Equivalente: a soma das dimensões dos autoespaços (dimensões geométricas) é n.
Aqui n=3 e encontramos três autovalores distintos \lambda=0,1,3, cada um com autoespaço de dimensão 1. Portanto a soma das dimensões geométricas é 1+1+1=3. Logo há três vetores próprios linearmente independentes — formam uma base de \mathbb{R}^{3} — e T é diagonalizável.
(se quiser confirmar independência explícita, os vetores (-1,-1,1),\;(1,-1,0),\;(1,1,2) são linearmente independentes; por exemplo a matriz formada por eles como colunas tem determinante 6\neq0, portanto são independentes.)