Sejam T_{1}(x, y)=(x+y, 3 x-y, x) e T_{2}(x, y, z)=(2 x+y-z, y+2 z). Determine \left(T_{1} \circ T_{2}\right)(x, y, z) e \left(T_{2} \circ T_{1}\right)(x, y).

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares:
T_{1}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3},\qquad T_{1}(x,y)=(x+y,\;3x-y,\;x)
T_{2}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2},\qquad T_{2}(x,y,z)=(2x+y-z,\;y+2z)
E pede para determinar as composições \left(T_{1}\circ T_{2}\right)(x,y,z) e \left(T_{2}\circ T_{1}\right)(x,y).

Passo 2

Lembrete didático rápido sobre composição: para calcular \left(T_{1}\circ T_{2}\right)(x,y,z) primeiro aplicamos T_{2} ao vetor (x,y,z) e depois aplicamos T_{1} ao resultado. Em fórmulas:
\left(T_{1}\circ T_{2}\right)(x,y,z)=T_{1}\big(T_{2}(x,y,z)\big).
Analogamente,
\left(T_{2}\circ T_{1}\right)(x,y)=T_{2}\big(T_{1}(x,y)\big).
A técnica prática é: calcular o vetor interno, dar nomes às componentes se quiser, e substituir essas componentes na definição da segunda transformação.

Passo 3

Calculemos primeiro T_{2}(x,y,z). Pelas definições,
T_{2}(x,y,z)=(u,v)\quad\text{com}\quad u=2x+y-z,\;v=y+2z.
Ou seja,
T_{2}(x,y,z)=(2x+y-z,\;y+2z).

Passo 4

Agora aplicamos T_{1} ao vetor (u,v)=(2x+y-z,\;y+2z). Pela definição de T_{1},
T_{1}(u,v)=(u+v,\;3u-v,\;u).
Substituindo u=2x+y-z e v=y+2z nas três componentes e simplificando passo a passo:
Primeira componente:
u+v=(2x+y-z)+(y+2z)=2x+2y+z.
Segunda componente:
3u-v=3(2x+y-z)-(y+2z)=6x+3y-3z-y-2z=6x+2y-5z.
Terceira componente:
u=2x+y-z.

Passo 5

Portanto temos o resultado da composição \left(T_{1}\circ T_{2}\right):
\left(T_{1}\circ T_{2}\right)(x,y,z)=(2x+2y+z,\;6x+2y-5z,\;2x+y-z).

Passo 6

Agora calculamos \left(T_{2}\circ T_{1}\right)(x,y). Primeiro aplicamos T_{1} a (x,y). Pela definição,
T_{1}(x,y)=(a,b,c)\quad\text{com}\quad a=x+y,\;b=3x-y,\;c=x.
Ou seja,
T_{1}(x,y)=(x+y,\;3x-y,\;x).

Passo 7

Em seguida aplicamos T_{2} ao vetor (a,b,c)=(x+y,\;3x-y,\;x). Pela definição de T_{2},
T_{2}(a,b,c)=(2a+b-c,\;b+2c).
Substituindo a,b,c e simplificando:
Primeira componente:
2a+b-c=2(x+y)+(3x-y)-x=2x+2y+3x-y-x=4x+y.
Segunda componente:
b+2c=(3x-y)+2x=5x-y.

Passo 8

Portanto a outra composição é
\left(T_{2}\circ T_{1}\right)(x,y)=(4x+y,\;5x-y).

Resposta

\left(T_{1}\circ T_{2}\right)(x,y,z)=(2x+2y+z,\;6x+2y-5z,\;2x+y-z)\n \left(T_{2}\circ T_{1}\right)(x,y)=(4x+y,\;5x-y)

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