Exercício 20.0.4. Sejam v_{1}=\left(x_{1}, y_{1}\right) e v_{2}=\left(x_{2}, y_{2}\right) vetores de \mathbb{R}^{2}, verifique quais funções f: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} definidas abaixo são produtos internos em \mathbb{R}^{2}.
f\left(v_{1}, v_{2}\right)=x_{1} y_{2}+x_{1} y_{1};

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
f:\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}
definida por
f\bigl((x_1,y_1),(x_2,y_2)\bigr)=x_1y_2+x_1y_1
é um produto interno em \mathbb{R}^2.
Lembrando que um produto interno deve ser bilinear, simétrico e definido-positivo.

Passo 2

Verificamos a simetria. Para \,v_1=(x_1,y_1) e v_2=(x_2,y_2) temos
f(v_1,v_2)=x_1y_2+x_1y_1,
enquanto
f(v_2,v_1)=x_2y_1+x_2y_2.
Em geral
x_1y_2+x_1y_1\neq x_2y_1+x_2y_2,
logo f(v_1,v_2)\neq f(v_2,v_1) e falha a condição de simetria.

Passo 3

Podemos ainda checar a positividade em um vetor genérico v=(x,y):
f(v,v)=x\cdot y + x\cdot y = 2xy.
Se escolhermos, por exemplo, v=(1,-1), então f(v,v)=2\cdot1\cdot(-1)=-2<0, violando a positividade.

Resposta

A função f não é produto interno em \mathbb{R}^2.

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