Exercício 22.0.4. Mostre que os polinômios
forma uma base ortogonal de
com o produto interno
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
são ortogonais em
com o produto interno
Para isso, vamos usar a definição de ortogonalidade: dois polinômios
e
são ortogonais se
. Como
tem dimensão 3, um conjunto de três polinômios não nulos e mutuamente ortogonais é automaticamente uma base ortogonal.
Passo 2
Calcular
:
Passo 3
Calcular
:
Passo 4
Calcular
: primeiro expandimos
Então
Passo 5
Como
para todo
e cada
é não nulo, temos três vetores ortogonais em
(dimensão 3). Logo, eles são linearmente independentes e, portanto, formam uma base ortogonal de
.
Resposta
Os polinômios
são mutuamente ortogonais e não nulos em
, logo constituem uma base ortogonal de
.