Exercício 22.0.4. Mostre que os polinômios p_{1}(x)=1, p_{2}(x)=x-\frac{1}{2}, p_{3}(x)=x^{2}-x+\frac{1}{6} forma uma base ortogonal de P_{2}(x) com o produto interno \langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) g(x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
p_{1}(x)=1,\quad p_{2}(x)=x-\tfrac12,\quad p_{3}(x)=x^{2}-x+\tfrac16
são ortogonais em P_{2} com o produto interno
\langle p,q\rangle=\int_{0}^{1}p(x)\,q(x)\,dx.
Para isso, vamos usar a definição de ortogonalidade: dois polinômios p e q são ortogonais se \langle p,q\rangle=0. Como P_{2} tem dimensão 3, um conjunto de três polinômios não nulos e mutuamente ortogonais é automaticamente uma base ortogonal.

Passo 2

Calcular \langle p_{1},p_{2}\rangle:
\langle p_{1},p_{2}\rangle =\int_{0}^{1}1\cdot\bigl(x-\tfrac12\bigr)\,dx =\int_{0}^{1}x\,dx-\tfrac12\int_{0}^{1}1\,dx =\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{1} -\tfrac12\Bigl[x\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac12-\tfrac12=0.

Passo 3

Calcular \langle p_{1},p_{3}\rangle:
\langle p_{1},p_{3}\rangle =\int_{0}^{1}\bigl(x^{2}-x+\tfrac16\bigr)\,dx =\Bigl[\tfrac{x^{3}}{3}-\tfrac{x^{2}}{2}+\tfrac{x}{6}\Bigr]_{0}^{1} =\Bigl(\tfrac13-\tfrac12+\tfrac16\Bigr)-0 =\tfrac{2-3+1}{6}=0.

Passo 4

Calcular \langle p_{2},p_{3}\rangle: primeiro expandimos
(x-\tfrac12)(x^{2}-x+\tfrac16) =x^{3}-\tfrac32x^{2}+\tfrac23x-\tfrac{1}{12}.
Então
\langle p_{2},p_{3}\rangle =\int_{0}^{1}\Bigl(x^{3}-\tfrac32x^{2}+\tfrac23x-\tfrac{1}{12}\Bigr)\,dx =\Bigl[\tfrac{x^{4}}{4}-\tfrac32\cdot\tfrac{x^{3}}{3}+\tfrac23\cdot\tfrac{x^{2}}{2}-\tfrac{x}{12}\Bigr]_{0}^{1} =\Bigl(\tfrac14-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac{1}{12}\Bigr) =\tfrac{3-6+4-1}{12}=0.

Passo 5

Como \langle p_{i},p_{j}\rangle=0 para todo i\neq j e cada p_{i} é não nulo, temos três vetores ortogonais em P_{2} (dimensão 3). Logo, eles são linearmente independentes e, portanto, formam uma base ortogonal de P_{2}.

Resposta

Os polinômios p_{1},p_{2},p_{3} são mutuamente ortogonais e não nulos em P_{2}, logo constituem uma base ortogonal de P_{2}.

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