Exercício 21. Prove que
\tan \frac{x+y}{2}=\frac{\cos x-\cos y}{\operatorname{sen} y-\operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade trigonométrica
\tan\frac{x+y}{2} \;=\;\frac{\cos x - \cos y}{\sin y - \sin x}.
O conteúdo principal aqui são as fórmulas de soma e diferença que transformam soma em produto (as chamadas fórmulas “sum-to-product”).

Passo 2

Aplicamos a fórmula de diferença de cossenos:
\cos x - \cos y = -2\,\sin\!\bigl(\tfrac{x+y}{2}\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{x-y}{2}\bigr).

Passo 3

Aplicamos a fórmula de diferença de senos, lembrando que \sin y - \sin x = -(\sin x - \sin y):
\sin y - \sin x = 2\,\cos\!\bigl(\tfrac{x+y}{2}\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{y-x}{2}\bigr) = -2\,\cos\!\bigl(\tfrac{x+y}{2}\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{x-y}{2}\bigr).

Passo 4

Formamos o quociente:
\frac{\cos x - \cos y}{\sin y - \sin x} = \frac{-2\,\sin\!\bigl(\tfrac{x+y}{2}\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{x-y}{2}\bigr)} {-2\,\cos\!\bigl(\tfrac{x+y}{2}\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{x-y}{2}\bigr)} = \frac{\sin\!\bigl(\tfrac{x+y}{2}\bigr)}{\cos\!\bigl(\tfrac{x+y}{2}\bigr)} = \tan\!\bigl(\tfrac{x+y}{2}\bigr).

Resposta

\tan\frac{x+y}{2}=\frac{\cos x-\cos y}{\sin y-\sin x}.

Exercícios relacionados