Exercício 21. Seja f: M longrightarrow N um difeomorfismo. Mostre que N orientável implica M orientável.

Passo 1

O enunciado diz que temos um difeomorfismo fcolon Mto N entre duas variedades diferenciáveis de mesma dimensão n, e que N é orientável. Queremos mostrar que isso implica que M também é orientável. Vamos usar a definição de orientabilidade via forma volume (isto é, forma diferencial de grau n nunca nula).

Passo 2

Lembremos da definição: uma variedade diferenciável X de dimensão n é orientável se e somente se existe uma forma diferencial omegainOmega^n(X) suave tal que, para todo ponto pin X, omegapneq0 (ou seja, omega é nunca nula). Essa omega é chamada de forma volume em X.

Passo 3

Como N é orientável, existe uma forma volume suave
omegainOmega^n(N),
com omegaqneq0 para todo qin N. Como f é difeomorfismo, podemos definir a forma pullback
alpha = f^*omegainOmega^n(M)
Por definição de pullback, em cada pin M e vetores v1,dots,vnin TpM vale
alphap(v1,dots,vn) =omegaf(p)l(dfp(v1),dots,dfp(vn)r)

Passo 4

Mostramos que alpha é suave e nunca nula.
  1. Suavidade: como f e omega são suaves, o pullback f^*omega também é suave.
  2. Nunca nula: em cada p, o diferencial dfpcolon TpMto Tf(p)N é um isomorfismo linear (já que f é difeomorfismo). Logo, se v1,dots,vn formam uma base de TpM, então dfp(v1),dots,dfp(vn) é base de Tf(p)N. Como omegaf(p) é não nula, omegaf(p)(dfp(v1),dots,dfp(vn))neq0. Portanto alphapneq0.

Passo 5

Concluímos que alpha=f^*omega é uma forma volume em M. Assim M admite uma forma diferencial de grau n suave e nunca nula, o que mostra que M é orientável.

Resposta

M é orientável.

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