Exercício 21. Seja
um difeomorfismo. Mostre que
orientável implica
orientável.
Passo 1
O enunciado diz que temos um difeomorfismo
entre duas variedades diferenciáveis de mesma dimensão
, e que
é orientável. Queremos mostrar que isso implica que
também é orientável. Vamos usar a definição de orientabilidade via forma volume (isto é, forma diferencial de grau
nunca nula).
Passo 2
Lembremos da definição: uma variedade diferenciável
de dimensão
é orientável se e somente se existe uma forma diferencial
suave tal que, para todo ponto
,
(ou seja,
é nunca nula). Essa
é chamada de forma volume em
.
Passo 3
Como
é orientável, existe uma forma volume suave
com
para todo
. Como
é difeomorfismo, podemos definir a forma pullback
Por definição de pullback, em cada
e vetores
vale
Passo 4
Mostramos que
é suave e nunca nula.
- Suavidade: como
e são suaves, o pullback também é suave. - Nunca nula: em cada
, o diferencial é um isomorfismo linear (já que é difeomorfismo). Logo, se formam uma base de , então é base de . Como é não nula, . Portanto .
Passo 5
Concluímos que
é uma forma volume em
. Assim
admite uma forma diferencial de grau
suave e nunca nula, o que mostra que
é orientável.