Exercício 2.22. Mostre que é possível definir os conjuntos 0,1,2,3, \ldots em ZFC sem utilizar o axioma do infinito.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos disponível.
  • Pedido: mostrar que é possível definir os conjuntos 0,1,2,3,\ldots (os naturais finitos no sentido de von Neumann) dentro de ZFC sem usar o axioma do infinito.
  • Condição: trabalhar com ZFC salvo o axioma do infinito (ou seja, todos os outros axiomas de ZFC estão disponíveis).
  • Informação relevante dada: nenhum conjunto infinito é exigido; apenas provar que, para cada número natural finito n (interpretado no meta-linguagem), existe um conjunto que representa esse n na construção padrão de ordinais de von Neumann.

Passo 2

Quais axiomas e operações de ZFC vou usar (explicados de forma simples e prática).
  • Axioma do conjunto vazio (existência do conjunto vazio): existe um conjunto sem elementos; esse conjunto chamamos de \varnothing. Em muitas formulações de ZFC esse axioma é explícito; se não for, ele é obtido facilmente a partir do esquema de separação aplicado a algum conjunto já existente (mas não precisamos detalhar essa derivação aqui). O importante: podemos começar com \varnothing.
  • Axioma do pareamento (Pairing): dados quaisquer conjuntos a e b, existe o conjunto \{a,b\}. Esse axioma permite construir conjuntos de dois elementos (ou, no caso a=b, conjuntos unitários \{a\}).
  • Axioma da união (Union): para todo conjunto A existe \bigcup A, o conjunto união de todos os elementos de A. Em palavras: a união de um conjunto de conjuntos existe.
  • Observação intuitiva: todas essas axiomas são “construtivos” no sentido de que, quando fornecemos conjuntos concretos, cada axioma nos fornece outro conjunto concreto. Cada aplicação usa apenas um número finito de axiomas; para criar um número natural n precisamos de um número finito de aplicações. Por isso não precisamos do axioma do infinito para construir cada n isoladamente.

Passo 3

Definir o zero e justificar sua existência.
  • Definição: 0 será definido como o conjunto vazio:
0 := \varnothing.
  • Justificativa de existência: usamos o axioma do conjunto vazio (ou sua derivação a partir de separação); portanto o conjunto \varnothing existe em ZFC sem qualquer uso do axioma do infinito. Pronto: o 0 está definido e existe.

Passo 4

Definir a operação sucessor e provar que ela produz conjuntos existentes usando Pairing e Union.
  • Intuição: o sucessor de um conjunto x é x\cup\{x\}. Esse é exatamente o operador que dá os ordinais de von Neumann: a cada ordinal x associa-se seu sucessor x\cup\{x\}.
  • Definição formal do sucessor:
\operatorname{Suc}(x) := x\cup\{x\}.
  • Como construir \operatorname{Suc}(x) usando axiomas de ZFC: dado x,
    1. pelo axioma do pareamento aplicamos a x e x para obter \{x\};
    2. então pelo axioma do pareamento aplicamos a x e \{x\} para obter \{x,\{x\}\};
    3. finalmente aplicamos o axioma da união a \{x,\{x\}\} para obter \bigcup\{x,\{x\}\}=x\cup\{x\}.
  • Conclusão: para todo conjunto x existente, \operatorname{Suc}(x) existe em ZFC sem usar o axioma do infinito (cada passo usa apenas pareamento e união, axiomas finitos).

Passo 5

Construção explícita de 1,2,3 (exemplos concretos, passo-a-passo) — para ver como fazer na prova.
  • Começando de 0=\varnothing:
    1. Aplicando pareamento a 0 e 0 obtemos \{0\}.
    2. Aplicando pareamento a 0 e \{0\} obtemos \{0,\{0\}\}.
    3. Aplicando união a \{0,\{0\}\} obtemos 0\cup\{0\}=\{0\}. Portanto o sucessor de 0 é \{0\}, que chamamos de 1.
  • Para 2:
    1. Já temos 1=\{0\}.
    2. Pareamento 1 com 1 fornece \{1\}.
    3. Pareamento de 1 e \{1\} \{1,\{1\}\}.
    4. União de \{1,\{1\}\} 1\cup\{1\}=\{0,1\}. Esse é 2.
  • Para 3 procede-se igual: aplica-se o operador sucessor a 2 para obter 3=2\cup\{2\}=\{0,1,2\}.
  • Observação: cada um desses passos usa um número finito de aplicações dos axiomas do pareamento e união, logo cada conjunto construído existe em ZFC sem infinito.

Passo 6

Argumento geral: para cada inteiro natural finito n (no meta-linguagem) existe o conjunto correspondente — explicação por iteração finita.
  • Método: definimos recursivamente (no meta-nível)
0:=\varnothing,\qquad n+1:=\operatorname{Suc}(n)=n\cup\{n\}.
  • Por raciocínio elementar (indução meta-matemática sobre o número de passos da construção):
    • caso base: 0=\varnothing existe;
    • passo indutivo: se n existe então, por Passo 4, \operatorname{Suc}(n) existe.
      Assim, para todo natural finito k (considerado no meta-linguagem) a k-ésima iteração \operatorname{Suc}^k(\varnothing) existe em ZFC sem usar o axioma do infinito.
  • Comentário didático: isto não contradiz o axioma do infinito. O axioma do infinito afirma a existência de um conjunto que contém todos esses elementos simultaneamente (um conjunto infinito inductivo). Aqui estamos apenas mostrando que cada elemento finito individual existe — cada um é obtido por um processo finito de aplicações de axiomas.

Passo 7

Breve verificação das propriedades esperadas (por que esses conjuntos correspondem aos naturais de von Neumann e são distintos).
  • Propriedade de von Neumann: por construção, cada n satisfaz
n=\{0,1,\dots,n-1\}.
Isso se prova por indução meta-simples: para 0 é vazio; se n=\{0,\dots,n-1\} então
n+1 = n\cup\{n\} = \{0,\dots,n-1\}\cup\{n\} = \{0,\dots,n\}.
  • Distinção entre os naturais: se m<n então m\in n (porque n é o conjunto de todos anteriores), logo m\neq n. Assim os conjuntos construídos são todos distintos e ordenados pela relação de pertencimento como esperado.
  • Tudo isso usa apenas a definição do sucessor e a extensão (Extensionality) para garantir identificação de conjuntos.

Passo 8

Conclusão prática e comentário final motivador.
  • Conclusão: portanto, sem usar o axioma do infinito, ZFC já permite definir e construir cada conjunto 0,1,2,3,\ldots separadamente: começando de 0=\varnothing e aplicando finitamente a operação \operatorname{Suc}(x)=x\cup\{x\} obtém-se cada número natural finito. O axioma do infinito só é necessário se quisermos garantir a existência de um conjunto que contenha todos esses objetos ao mesmo tempo (um conjunto infinito que seja inductivo).
  • Resumo prático para usar em prova: escreva
0=\varnothing,\qquad n+1:=n\cup\{n\},
mostre os primeiros casos explicitamente (como em Passo 5) e explique que cada passo é uma aplicação finita dos axiomas de pair e union, logo existe em ZFC sem infinito. Vai tranquilo — é só repetir o truque finitas vezes!

Resposta

0=\varnothing
1=\{\varnothing\}
2=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}
3=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}
Em geral,
0=\varnothing,\qquad n+1:=n\cup\{n\},
e para cada natural finito n o conjunto \operatorname{Suc}^n(\varnothing) existe em ZFC sem usar o axioma do infinito.

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