Exercício 2.22. Mostre que é possível definir os conjuntos
em ZFC sem utilizar o axioma do infinito.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos disponível.
- Pedido: mostrar que é possível definir os conjuntos
(os naturais finitos no sentido de von Neumann) dentro de ZFC sem usar o axioma do infinito. - Condição: trabalhar com ZFC salvo o axioma do infinito (ou seja, todos os outros axiomas de ZFC estão disponíveis).
- Informação relevante dada: nenhum conjunto infinito é exigido; apenas provar que, para cada número natural finito
(interpretado no meta-linguagem), existe um conjunto que representa esse na construção padrão de ordinais de von Neumann.
Passo 2
Quais axiomas e operações de ZFC vou usar (explicados de forma simples e prática).
- Axioma do conjunto vazio (existência do conjunto vazio): existe um conjunto sem elementos; esse conjunto chamamos de
. Em muitas formulações de ZFC esse axioma é explícito; se não for, ele é obtido facilmente a partir do esquema de separação aplicado a algum conjunto já existente (mas não precisamos detalhar essa derivação aqui). O importante: podemos começar com . - Axioma do pareamento (Pairing): dados quaisquer conjuntos
e , existe o conjunto . Esse axioma permite construir conjuntos de dois elementos (ou, no caso , conjuntos unitários ). - Axioma da união (Union): para todo conjunto
existe , o conjunto união de todos os elementos de . Em palavras: a união de um conjunto de conjuntos existe. - Observação intuitiva: todas essas axiomas são “construtivos” no sentido de que, quando fornecemos conjuntos concretos, cada axioma nos fornece outro conjunto concreto. Cada aplicação usa apenas um número finito de axiomas; para criar um número natural
precisamos de um número finito de aplicações. Por isso não precisamos do axioma do infinito para construir cada isoladamente.
Passo 3
Definir o zero e justificar sua existência.
- Definição:
será definido como o conjunto vazio:
- Justificativa de existência: usamos o axioma do conjunto vazio (ou sua derivação a partir de separação); portanto o conjunto
existe em ZFC sem qualquer uso do axioma do infinito. Pronto: o está definido e existe.
Passo 4
Definir a operação sucessor e provar que ela produz conjuntos existentes usando Pairing e Union.
- Intuição: o sucessor de um conjunto
é . Esse é exatamente o operador que dá os ordinais de von Neumann: a cada ordinal associa-se seu sucessor . - Definição formal do sucessor:
- Como construir
usando axiomas de ZFC: dado , - pelo axioma do pareamento aplicamos a
e para obter ; - então pelo axioma do pareamento aplicamos a
e para obter ; - finalmente aplicamos o axioma da união a
para obter .
- pelo axioma do pareamento aplicamos a
- Conclusão: para todo conjunto
existente, existe em ZFC sem usar o axioma do infinito (cada passo usa apenas pareamento e união, axiomas finitos).
Passo 5
Construção explícita de
(exemplos concretos, passo-a-passo) — para ver como fazer na prova.
- Começando de
: - Aplicando pareamento a
e obtemos . - Aplicando pareamento a
e obtemos . - Aplicando união a
obtemos . Portanto o sucessor de é , que chamamos de .
- Aplicando pareamento a
- Para
: - Já temos
. - Pareamento
com fornece . - Pareamento de
e dá . - União de
dá . Esse é .
- Já temos
- Para
procede-se igual: aplica-se o operador sucessor a para obter . - Observação: cada um desses passos usa um número finito de aplicações dos axiomas do pareamento e união, logo cada conjunto construído existe em ZFC sem infinito.
Passo 6
Argumento geral: para cada inteiro natural finito
(no meta-linguagem) existe o conjunto correspondente — explicação por iteração finita.
- Método: definimos recursivamente (no meta-nível)
- Por raciocínio elementar (indução meta-matemática sobre o número de passos da construção):
- caso base:
existe; - passo indutivo: se
existe então, por Passo 4, existe.
Assim, para todo natural finito(considerado no meta-linguagem) a -ésima iteração existe em ZFC sem usar o axioma do infinito.
- caso base:
- Comentário didático: isto não contradiz o axioma do infinito. O axioma do infinito afirma a existência de um conjunto que contém todos esses elementos simultaneamente (um conjunto infinito inductivo). Aqui estamos apenas mostrando que cada elemento finito individual existe — cada um é obtido por um processo finito de aplicações de axiomas.
Passo 7
Breve verificação das propriedades esperadas (por que esses conjuntos correspondem aos naturais de von Neumann e são distintos).
- Propriedade de von Neumann: por construção, cada
satisfaz
Isso se prova por indução meta-simples: para
é vazio; se
então
- Distinção entre os naturais: se
então (porque é o conjunto de todos anteriores), logo . Assim os conjuntos construídos são todos distintos e ordenados pela relação de pertencimento como esperado. - Tudo isso usa apenas a definição do sucessor e a extensão (Extensionality) para garantir identificação de conjuntos.
Passo 8
Conclusão prática e comentário final motivador.
- Conclusão: portanto, sem usar o axioma do infinito, ZFC já permite definir e construir cada conjunto
separadamente: começando de e aplicando finitamente a operação obtém-se cada número natural finito. O axioma do infinito só é necessário se quisermos garantir a existência de um conjunto que contenha todos esses objetos ao mesmo tempo (um conjunto infinito que seja inductivo). - Resumo prático para usar em prova: escreva
mostre os primeiros casos explicitamente (como em Passo 5) e explique que cada passo é uma aplicação finita dos axiomas de pair e union, logo existe em ZFC sem infinito. Vai tranquilo — é só repetir o truque finitas vezes!
Resposta
Em geral,
e para cada natural finito
o conjunto
existe em ZFC sem usar o axioma do infinito.