Exercício 23. Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(n x)}{\operatorname{sen}(m x)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(n x)}{\operatorname{sen}(m x)}.
Esse é um limite trigonométrico clássico, em que vamos usar a propriedade fundamental \displaystyle \lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}u}{u}=1.

Passo 2

Relembrando a propriedade básica dos limites trigonométricos:
\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}u}{u}=1.

Passo 3

Queremos fazer aparecer frações do tipo \frac{\operatorname{sen}u}{u}. Para isso, reescrevemos
\frac{\operatorname{sen}(n x)}{\operatorname{sen}(m x)} = \frac{\displaystyle \frac{\operatorname{sen}(n x)}{n x}}{\displaystyle \frac{\operatorname{sen}(m x)}{m x}} \;\cdot\;\frac{n}{m}.

Passo 4

Ao fazermos x\to0, temos n x\to0 e m x\to0. Aplicando o limite da Passo 2 em cada parte,
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(n x)}{n x}=1 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(m x)}{m x}=1.
Logo,
\lim_{x \to 0}\frac{\operatorname{sen}(n x)}{\operatorname{sen}(m x)} = \frac{1}{1}\cdot\frac{n}{m} = \frac{n}{m}.

Resposta

\displaystyle \frac{n}{m}

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