Exercício 23. Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(n x)}{m x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(n x)}{m x}.
O conteúdo principal é limite trigonométrico, em particular o fato de que \displaystyle \lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1.

Passo 2

Reescrevemos a expressão de modo a evidenciar a forma padrão \operatorname{sen}(u)/u:
\frac{\operatorname{sen}(n x)}{m x} = \frac{n}{m}\,\frac{\operatorname{sen}(n x)}{n x}.

Passo 3

Quando x\to 0, o argumento n x\to 0. Pelo limite trigonométrico fundamental, temos
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(n x)}{n x} = 1.

Passo 4

Multiplicando pelo fator fora da fração, obtemos
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(n x)}{m x} = \frac{n}{m}\cdot 1 = \frac{n}{m}.

Resposta

\displaystyle \frac{n}{m}

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