Exercício 23. Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \tan (3 x) \csc (6 x)

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0}\tan(3x)\,\csc(6x).
O conteúdo aqui é limite de funções trigonométricas no ponto zero, e vamos usar o limite fundamental
\lim_{u\to0}\frac{\sin(u)}{u}=1
além de \tan(u)=\frac{\sin(u)}{\cos(u)} e \csc(u)=\frac1{\sin(u)}.

Passo 2

Reescrevemos em termos de seno e cosseno:
\tan(3x)\,\csc(6x) = \frac{\sin(3x)}{\cos(3x)}\;\cdot\;\frac{1}{\sin(6x)} = \frac{\sin(3x)}{\cos(3x)\,\sin(6x)}.

Passo 3

Agora fatoramos para aplicar \lim_{u\to0}\sin(u)/u=1. Observe que
\frac{\sin(3x)}{\cos(3x)\,\sin(6x)} = \Bigl(\frac{\sin(3x)}{3x}\Bigr) \;\cdot\; \Bigl(\frac{6x}{\sin(6x)}\Bigr) \;\cdot\; \frac{3x}{6x} \;\cdot\; \frac{1}{\cos(3x)}.
Note que \tfrac{3x}{6x}=\tfrac12.

Passo 4

Tomando o limite x\to0 em cada fator, temos
\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{3x}=1, \quad \lim_{x\to0}\frac{6x}{\sin(6x)}=1, \quad \lim_{x\to0}\frac1{\cos(3x)}=1,
portanto
\lim_{x\to0}\tan(3x)\,\csc(6x) = 1\cdot1\cdot\frac12\cdot1 =\frac12.

Resposta

\displaystyle \frac12

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