Exercício 3.23 Dada a função posição \mathrm{s}(\mathrm{t}) de um móvel em relação ao tempo, define-se a sua velocidade escalar instantânea e a sua aceleração escalar instantânea no instante t como sendo v(\mathrm{t})=\mathrm{s}^{\'}(\mathrm{t}) e \mathrm{a}(\mathrm{t})=v^{\'}(\mathrm{t}), respectivamente. Obtenha estas funções nos casos abaixo:
(\mathrm{v}) \mathrm{s}(\mathrm{t})=5\left(2^{\mathrm{t}}\right).

Passo 1

O enunciado dá a posição s(t)=5\cdot2^{t} de um móvel e define a velocidade instantânea como v(t)=s'(t) e a aceleração como a(t)=v'(t). Para calcular essas derivadas, vamos usar a regra de derivação da função exponencial:
\frac{d}{dt}\bigl(2^{t}\bigr)=2^{t}\ln(2).

Passo 2

Aplicando a regra da constante vezes função, a velocidade é
v(t)=s'(t)=5\cdot\frac{d}{dt}\bigl(2^{t}\bigr) =5\cdot2^{t}\ln(2).

Passo 3

Para obter a aceleração, derivamos v(t) novamente:
a(t)=v'(t)=5\cdot\frac{d}{dt}\bigl(2^{t}\ln(2)\bigr) =5\ln(2)\cdot\frac{d}{dt}\bigl(2^{t}\bigr) =5\ln(2)\cdot2^{t}\ln(2) =5\cdot2^{t}\bigl(\ln(2)\bigr)^{2}.

Resposta

v(t)=5\cdot2^{t}\ln(2) a(t)=5\cdot2^{t}\bigl(\ln(2)\bigr)^{2}

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