Exercício 3.23 Dada a função posição \mathrm{s}(\mathrm{t}) de um móvel em relação ao tempo, define-se a sua velocidade escalar instantânea e a sua aceleração escalar instantânea no instante t como sendo v(\mathrm{t})=\mathrm{s}^{\'}(\mathrm{t}) e \mathrm{a}(\mathrm{t})=v^{\'}(\mathrm{t}), respectivamente. Obtenha estas funções nos casos abaixo:
\mathrm{s}(\mathrm{t})=3 \mathrm{t}^{2}+\mathrm{t}^{3}.

Passo 1

O enunciado fornece a função posição
s(t)=3t^{2}+t^{3}
e pede para encontrar a velocidade escalar instantânea v(t)=s'(t) e a aceleração escalar instantânea a(t)=v'(t). Vamos usar a regra do polinômio, segundo a qual
\frac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{n-1}.

Passo 2

Para obter a velocidade, calculamos a derivada de s(t):
v(t)=s'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(3t^{2}\bigr)+\frac{d}{dt}\bigl(t^{3}\bigr) =3\cdot2\,t^{2-1}+1\cdot3\,t^{3-1} =6t+3t^{2}.

Passo 3

Para obter a aceleração, derivamos v(t):
a(t)=v'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(6t\bigr)+\frac{d}{dt}\bigl(3t^{2}\bigr) =6\cdot1\,t^{1-1}+3\cdot2\,t^{2-1} =6+6t.

Resposta

v(t)=6t+3t^{2}. a(t)=6+6t.

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