Exercício 23. Resolva e escreva a solução em forma de intervalo:
\frac{5-x}{3} \leq 1

Passo 1

O enunciado nos dá a desigualdade
\frac{5 - x}{3} \leq 1
e pede para resolver (achar todos os x que satisfazem) e escrever a solução em forma de intervalo. Informação relevante dada:
  • A expressão é uma desigualdade linear envolvendo uma fração com denominador 3.
  • O domínio natural é todos os números reais x (não há restrição de denominador nulo).
    O objetivo: encontrar o conjunto de valores de x que tornam a desigualdade verdadeira e depois escrever esse conjunto em notação de intervalo.

Passo 2

Primeiro passo prático: eliminar a fração para facilitar o isolamento de x. Como o denominador é 3 (um número positivo), podemos multiplicar ambos os lados da desigualdade por 3 sem alterar o sentido da desigualdade. Aplicando essa operação:
3\cdot\frac{5-x}{3} \leq 3\cdot 1
que simplifica para
5 - x \leq 3.
Explicação da regra usada: multiplicar ou dividir ambos os lados de uma desigualdade por um número positivo mantém o sinal da desigualdade; só se troca o sinal quando se multiplica/divide por um número negativo.

Passo 3

Agora isolamos x. Subtraímos 5 dos dois lados (subtrair o mesmo número dos dois lados mantém a desigualdade):
5 - x - 5 \leq 3 - 5
que dá
-x \leq -2.

Passo 4

Temos -x \leq -2. Para deixar x positivo, multiplicamos ambos os lados por -1. Atenção à regra: ao multiplicar (ou dividir) uma desigualdade por um número negativo, o sentido da desigualdade inverte. Aplicando isso:
(-1)\cdot(-x) \geq (-1)\cdot(-2)
que resulta em
x \geq 2.
Observação didática: a inversão do sentido ocorre porque, por exemplo, se a \leq b então -a \geq -b. Aqui usamos exatamente isso.

Passo 5

Interpretando o resultado: a desigualdade final x \geq 2 significa que todos os números reais iguais ou maiores que 2 satisfazem a desigualdade original. Podemos checar rapidamente:
  • Para x=2: \dfrac{5-2}{3}=\dfrac{3}{3}=1, então \leq 1 é verdadeiro (igualdade).
  • Para x=1: \dfrac{5-1}{3}=\dfrac{4}{3}>1, então x=1 não satisfaz — confirma que valores menores que 2 falham.
    Tudo consistente.

Resposta

[2,\infty)

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