Exercício 23. Resolva e escreva a solução em forma de intervalo:
Passo 1
O enunciado nos dá a desigualdade
e pede para resolver (achar todos os
que satisfazem) e escrever a solução em forma de intervalo. Informação relevante dada:
- A expressão é uma desigualdade linear envolvendo uma fração com denominador
. - O domínio natural é todos os números reais
(não há restrição de denominador nulo).
O objetivo: encontrar o conjunto de valores deque tornam a desigualdade verdadeira e depois escrever esse conjunto em notação de intervalo.
Passo 2
Primeiro passo prático: eliminar a fração para facilitar o isolamento de
. Como o denominador é
(um número positivo), podemos multiplicar ambos os lados da desigualdade por
sem alterar o sentido da desigualdade. Aplicando essa operação:
que simplifica para
Explicação da regra usada: multiplicar ou dividir ambos os lados de uma desigualdade por um número positivo mantém o sinal da desigualdade; só se troca o sinal quando se multiplica/divide por um número negativo.
Passo 3
Agora isolamos
. Subtraímos
dos dois lados (subtrair o mesmo número dos dois lados mantém a desigualdade):
que dá
Passo 4
Temos
. Para deixar
positivo, multiplicamos ambos os lados por
. Atenção à regra: ao multiplicar (ou dividir) uma desigualdade por um número negativo, o sentido da desigualdade inverte. Aplicando isso:
que resulta em
Observação didática: a inversão do sentido ocorre porque, por exemplo, se
então
. Aqui usamos exatamente isso.
Passo 5
Interpretando o resultado: a desigualdade final
significa que todos os números reais iguais ou maiores que
satisfazem a desigualdade original. Podemos checar rapidamente:
- Para
: , então é verdadeiro (igualdade). - Para
: , então não satisfaz — confirma que valores menores que falham.
Tudo consistente.