Exercício 23. Seja X_{i} \sim p\left(x_{i} \mid \theta_{i}\right) e p_{i}\left(\theta_{i}\right) a priori não informativa para \theta_{i}, i=1,2, \ldots, d. Suponha que os X_{i} 's sejam independentes e mostre que a priori não informativa de Jeffreys para \boldsymbol{\theta}=\left(\theta_{1}, \theta_{2}, \ldots, \theta_{d}\right)^{\top} será \prod_{i=1}^{d} p_{i}\left(\theta_{i}\right).
Passo 1
O enunciado considera variáveis independentes X_{i}\sim p(x_{i}\mid\theta_{i}), cada uma com sua priori não informativa de Jeffreys p_{i}(\theta_{i}). Queremos mostrar que, para o vetor de parâmetros \boldsymbol{\theta}=(\theta_{1},\dots,\theta_{d})^{\top}, a priori de Jeffreys conjunta é