Exercício 23. Seja X_{i} \sim p\left(x_{i} \mid \theta_{i}\right) e p_{i}\left(\theta_{i}\right) a priori não informativa para \theta_{i}, i=1,2, \ldots, d. Suponha que os X_{i} 's sejam independentes e mostre que a priori não informativa de Jeffreys para \boldsymbol{\theta}=\left(\theta_{1}, \theta_{2}, \ldots, \theta_{d}\right)^{\top} será \prod_{i=1}^{d} p_{i}\left(\theta_{i}\right).

Passo 1

O enunciado considera variáveis independentes X_{i}\sim p(x_{i}\mid\theta_{i}), cada uma com sua priori não informativa de Jeffreys p_{i}(\theta_{i}). Queremos mostrar que, para o vetor de parâmetros \boldsymbol{\theta}=(\theta_{1},\dots,\theta_{d})^{\top}, a priori de Jeffreys conjunta é
p_{J}(\boldsymbol{\theta}) \propto \prod_{i=1}^{d} p_{i}(\theta_{i})\,.

Passo 2

Lembramos que a priori de Jeffreys para parâmetro vetorial \boldsymbol{\theta} é dada por
p_{J}(\boldsymbol{\theta}) \propto \sqrt{\det I(\boldsymbol{\theta})},
onde I(\boldsymbol{\theta}) é a matriz de informação de Fisher, cuja componente (j,k) é
I_{jk}(\boldsymbol{\theta}) = -\mathbb{E}\Bigl[\frac{\partial^{2}}{\partial\theta_{j}\partial\theta_{k}} \log p(\mathbf{X}\mid\boldsymbol{\theta})\Bigr].

Passo 3

Como as X_{i} são independentes, a verossimilhança conjunta é
p(\mathbf{X}\mid\boldsymbol{\theta}) =\prod_{i=1}^{d}p(x_{i}\mid\theta_{i}) \quad\Longrightarrow\quad \log p(\mathbf{X}\mid\boldsymbol{\theta}) =\sum_{i=1}^{d}\log p(x_{i}\mid\theta_{i}).
Logo, para j\neq k,
\frac{\partial^{2}}{\partial\theta_{j}\partial\theta_{k}} \log p(\mathbf{X}\mid\boldsymbol{\theta}) =0,
pois cada termo \log p(x_{i}\mid\theta_{i}) depende apenas de \theta_{i}. Portanto I(\boldsymbol{\theta}) é diagonal:
I(\boldsymbol{\theta}) =\mathrm{diag}\bigl(I_{1}(\theta_{1}),\,I_{2}(\theta_{2}),\dots,I_{d}(\theta_{d})\bigr),
onde
I_{i}(\theta_{i}) =-\mathbb{E}\Bigl[\frac{\partial^{2}}{\partial\theta_{i}^{2}} \log p(X_{i}\mid\theta_{i})\Bigr]
é precisamente a informação de Fisher para \theta_{i} isoladamente.

Passo 4

Para matriz diagonal, o determinante é o produto das entradas da diagonal. Assim,
\det I(\boldsymbol{\theta}) =\prod_{i=1}^{d}I_{i}(\theta_{i}).
Logo a priori de Jeffreys conjunta fica
p_{J}(\boldsymbol{\theta}) \propto \sqrt{\det I(\boldsymbol{\theta})} =\sqrt{\prod_{i=1}^{d}I_{i}(\theta_{i})} =\prod_{i=1}^{d}\sqrt{I_{i}(\theta_{i})}.

Passo 5

Por definição, a priori não informativa de Jeffreys para cada \theta_{i} é
p_{i}(\theta_{i})\propto\sqrt{I_{i}(\theta_{i})}.
Comparando com o resultado obtido acima, concluímos que
p_{J}(\boldsymbol{\theta}) \propto\prod_{i=1}^{d}p_{i}(\theta_{i}),
ou seja, a priori conjunta factoriza-se no produto das priors de cada componente.

Resposta

p_{J}(\boldsymbol{\theta}) \propto \prod_{i=1}^{d} p_{i}(\theta_{i}).

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