Exercício 24. Considere uma amostra aleatória X_{1}, \ldots, X_{n} de uma distribuição de Pareto com função densidade de probabilidade p(x \mid \theta, b)=\theta b^{\theta} x^{-(\theta+1)} \mathbb{1}_{(b, \infty)}(x)𝟙, em que b>0 (conhecido) é um parâmetro de escala e \theta>0 (desconhecido) é um parâmetro de forma.
(a) Mostre que há uma estatística suficiente, com dimensão fixa, para \theta;
(b) Determine a priori não informativa de Jeffreys para \theta. Essa priori é própria ou imprópria?
(c) Mostre que, para a priori do item (b), a posteriori de \theta será \operatorname{Gama}(n, n \log (z / b)), em que z é a média geométrica das observações.

Passo 1

O enunciado trata de uma amostra aleatória X_{1},\dots,X_{n} de uma distribuição de Pareto com densidade
p(x\mid \theta,b)=\theta\,b^{\theta}\,x^{-(\theta+1)}\\ 1_{(b,\infty)}(x),
onde b>0 é conhecido e \theta>0 é desconhecido. Pede-se:
(a) mostrar que existe estatística suficiente de dimensão fixa para \theta;
(b) determinar a priori de Jeffreys para \theta e dizer se ela é própria ou imprópria;
(c) com essa priori, mostrar que a posteriori de \theta é \mathrm{Gama}\bigl(n,\;n\log(z/b)\bigr), onde z é a média geométrica das observações.
Os conteúdos envolvidos são o Teorema de Fatorização de Neyman–Fisher, informação de Fisher e priori de Jeffreys, e identificação de distribuição conjugada no modelo exponencial.

Passo 2

Derivamos a estatística suficiente via fatorização. A verossimilhança é
L(\theta) =\prod_{i=1}^{n}\theta\,b^{\theta}\,x_{i}^{-(\theta+1)}\\ 1_{(b,\infty)}(x_{i}) =\theta^{n}b^{n\theta}\Bigl(\prod_{i=1}^{n}x_{i}\Bigr)^{-(\theta+1)}\\ 1_{\{\min x_i>b\}}.
Escrevendo \prod x_i^{-(\theta+1)}=\bigl(\prod x_i^{-1}\bigr)\exp\bigl(-\theta\sum\log x_i\bigr), obtemos
L(\theta) =\bigl[\theta^{n}\exp\{\,\theta(n\log b - \sum_{i=1}^{n}\log x_i)\}\bigr]\times \Bigl[\bigl(\prod_{i=1}^{n}x_{i}^{-1}\bigr)\\ 1_{\{\min x_i>b\}}\Bigr].
Pela forma de fatorização, a estatística
T=\sum_{i=1}^{n}\log X_{i}
é suficiente para \theta e tem dimensão fixa (igual a 1).

Passo 3

Para obter a priori de Jeffreys, calculamos a informação de Fisher de uma única observação.
\log f(x\mid\theta) =\log\theta+\theta\log b -(\theta+1)\log x,
\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}\log f(x\mid\theta) =-\frac{1}{\theta^2},
logo a informação de Fisher é
I(\theta) =-E\Bigl[\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}\log f(X\mid\theta)\Bigr] =\frac{1}{\theta^2}.
A priori de Jeffreys é
\pi(\theta)\propto\sqrt{I(\theta)}=\frac{1}{\theta},
que diverge ao integrar sobre \theta>0. Portanto é imprópria.

Passo 4

Multiplicando verossimilhança por \pi(\theta)\propto1/\theta, obtemos a densidade a posteriori (até constante)
p(\theta\mid x)\propto \theta^{n}\exp\bigl(-\theta\sum_{i=1}^{n}\log(x_{i}/b)\bigr)\times\frac{1}{\theta} =\theta^{n-1}\exp\Bigl(-\theta\sum_{i=1}^{n}\log\frac{x_{i}}{b}\Bigr).
Isto é exatamente a forma de uma distribuição Gama com parâmetro de forma \alpha=n e taxa \beta=\sum_{i=1}^{n}\log(x_{i}/b). Como
\sum_{i=1}^{n}\log\frac{x_{i}}{b} =n\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\log\frac{x_{i}}{b} =n\log\frac{(\prod_{i=1}^{n}x_{i})^{1/n}}{b} =n\log\frac{z}{b},
fica \theta\mid x\sim\mathrm{Gama}\bigl(n,\;n\log(z/b)\bigr).

Resposta

(a) A estatística suficiente de dimensão fixa é
T=\sum_{i=1}^{n}\log X_{i}.
(b) A priori de Jeffreys é
\pi(\theta)\propto\frac{1}{\theta},
que é imprópria.
(c) A distribuição a posteriori é
\theta\mid x\;\sim\;\mathrm{Gama}\bigl(n,\;n\log(z/b)\bigr),
onde z=(\prod_{i=1}^{n}x_{i})^{1/n} é a média geométrica.

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