Exercício 24. Considere uma amostra aleatória
de uma distribuição de Pareto com função densidade de probabilidade
, em que
(conhecido) é um parâmetro de escala e
(desconhecido) é um parâmetro de forma.
(a) Mostre que há uma estatística suficiente, com dimensão fixa, para
;
(b) Determine a priori não informativa de Jeffreys para
. Essa priori é própria ou imprópria?
(c) Mostre que, para a priori do item (b), a posteriori de
será
, em que
é a média geométrica das observações.
(a) Mostre que há uma estatística suficiente, com dimensão fixa, para
(b) Determine a priori não informativa de Jeffreys para
(c) Mostre que, para a priori do item (b), a posteriori de
Passo 1
O enunciado trata de uma amostra aleatória
de uma distribuição de Pareto com densidade
onde
é conhecido e
é desconhecido. Pede-se:
(a) mostrar que existe estatística suficiente de dimensão fixa para ;
(b) determinar a priori de Jeffreys para e dizer se ela é própria ou imprópria;
(c) com essa priori, mostrar que a posteriori de é
, onde
é a média geométrica das observações.
Os conteúdos envolvidos são o Teorema de Fatorização de Neyman–Fisher, informação de Fisher e priori de Jeffreys, e identificação de distribuição conjugada no modelo exponencial.
(a) mostrar que existe estatística suficiente de dimensão fixa para
(b) determinar a priori de Jeffreys para
(c) com essa priori, mostrar que a posteriori de
Os conteúdos envolvidos são o Teorema de Fatorização de Neyman–Fisher, informação de Fisher e priori de Jeffreys, e identificação de distribuição conjugada no modelo exponencial.
Passo 2
Derivamos a estatística suficiente via fatorização. A verossimilhança é
Escrevendo
, obtemos
Pela forma de fatorização, a estatística
é suficiente para
e tem dimensão fixa (igual a 1).
Passo 3
Para obter a priori de Jeffreys, calculamos a informação de Fisher de uma única observação.
logo a informação de Fisher é
A priori de Jeffreys é
que diverge ao integrar sobre
. Portanto é imprópria.
Passo 4
Multiplicando verossimilhança por
, obtemos a densidade a posteriori (até constante)
Isto é exatamente a forma de uma distribuição Gama com parâmetro de forma
e taxa
. Como
fica
.
Resposta
(a) A estatística suficiente de dimensão fixa é
(b) A priori de Jeffreys é
que é imprópria.
(c) A distribuição a posteriori é
(c) A distribuição a posteriori é
onde
é a média geométrica.