Exercício 23 (Verdadeiro ou Falso) Considere-se um sistema de coordenadas ortonormais ( O, \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k} ). Considerem-se os pontos A(2 ; 1 ;-1), B(-1 ; 2 ; 4), C(0 ;-2 ; 3), D(1 ; 1 ;-2); considere-se o plano (P): x-2 y+z=-1. Determinar, com a devida justificativa, se cada uma das proposições seguintes é verdadeira ou falsa.
A reta (A C) tem equações paramétricas (x, y, z)=(1+2 t,-1 / 2+3 t, 1-4 t), (t \in \mathbb{R}).

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos os pontos
A=(2,1,-1),\quad C=(0,-2,3)
e nos oferecem uma equação paramétrica
(x,y,z) = (1+2t,\,-\tfrac12+3t,\;1-4t),\quad t\in\mathbb{R},
dizendo que ela é a reta AC. Para verificar se isso é correto, vamos (1) comparar o vetor diretor da parametrização com \overrightarrow{AC} e (2) checar se um ponto da parametrização pertence à reta que une A a C.

Passo 2

Calculamos o vetor que vai de A a C:
\overrightarrow{AC} = C - A = (0-2,\,-2-1,\;3-(-1)) = (-2,\,-3,\;4).
Já o vetor diretor \vec v da parametrização é o coeficiente de t em cada coordenada, ou seja,
\vec v = (2,\,3,\,-4).
Observamos que
\vec v = -1\cdot(-2,-3,4) = -\,\overrightarrow{AC},
então os vetores são colineares, o que indica que têm a mesma direção (apenas orientada ao contrário).

Passo 3

Agora tomamos t=0 na parametrização e obtemos o ponto
P(0) = (1,\,-\tfrac12,\;1).
Para ver se P(0) está sobre o segmento AC, escrevemos
A + \tfrac12\,\overrightarrow{AC} = (2,1,-1) + \tfrac12(-2,-3,4) = (2-1,\;1-\tfrac32,\;-1+2) = (1,\,-\tfrac12,\;1),
que é exatamente P(0). Logo, a parametrização passa num ponto de AC e tem vetor diretor colinear a \overrightarrow{AC}, ou seja, descreve a reta AC.

Resposta

Verdadeiro.

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