Exercício 23 (Verdadeiro ou Falso) Considere-se um sistema de coordenadas ortonormais ( O, \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k} ). Considerem-se os pontos A(2 ; 1 ;-1), B(-1 ; 2 ; 4), C(0 ;-2 ; 3), D(1 ; 1 ;-2); considere-se o plano (P): x-2 y+z=-1. Determinar, com a devida justificativa, se cada uma das proposições seguintes é verdadeira ou falsa.
A reta ( A B ) é estritamente paralela à reta com representações paramétri\operatorname{cas}(R):(x, y, z)=(-4-3 k, 3+k, 9+5 k), (k \in \mathbb{R}).
Passo 1
O enunciado dá quatro pontos em \mathbb{R}^3 e uma reta R em forma paramétrica. Queremos saber se a reta que passa por A e B é estritamente paralela a R. O conteúdo aqui é geometria vetorial em \mathbb{R}^3: para isso, precisamos (1) determinar o vetor diretor de cada reta e ver se são múltiplos um do outro (paralelismo) e (2) verificar se as retas são distintas (para checar se não coincidem).
Passo 2
Calculamos o vetor diretor de (AB). Como A=(2,1,-1) e B=(-1,2,4), temos
\overrightarrow{AB}=B - A = (-1-2,\;2-1,\;4-(-1)) = (-3,\;1,\;5).
Passo 3
Extraímos o vetor diretor de R lendo os coeficientes de k na sua forma paramétrica
(x,y,z)=(-4-3k,\;3+k,\;9+5k).
Logo, o vetor diretor de R é
\vec{v}=(-3,\;1,\;5).
Passo 4
Como \overrightarrow{AB}=(-3,1,5) e \vec{v}=(-3,1,5), esses vetores são colineares e não-nulos, portanto as retas são paralelas.
Passo 5
Para ver se são estritamente paralelas (i.e., paralelas mas distintas), checamos se algum ponto de (AB) pertence a R. Testamos A em R: resolver
(-4-3k,\;3+k,\;9+5k) = (2,1,-1).
Pela coordenada x: -4-3k=2 dá k=-2. Substituindo em y e z:
3+(-2)=1,\quad 9+5(-2)=9-10=-1.
Funciona, logo A\in R. Assim, as retas coincidem e não são distintas.