Exercício 4.24 Encontre todos os pontos críticos das seguintes funções (os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R} ):
f(x)=(x-1)^{2}(x-3)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos de f(x)=(x-1)^{2}(x-3)^{2}. O conteúdo é derivação de polinômios e identificação de pontos onde f'(x)=0 ou indefinida. Como f é um polinômio, f' existe em todo \mathbb{R}, então vamos resolver f'(x)=0.

Passo 2

Para derivar, note que f(x)=g(x)^{2} com g(x)=(x-1)(x-3). Primeiro,
g(x)=(x-1)(x-3)=x^{2}-4x+3,
g'(x)=2x-4.
Pela regra da cadeia,
f'(x)=2\,g(x)\,g'(x)=2\,(x^{2}-4x+3)\,(2x-4).

Passo 3

Os pontos críticos satisfazem
f'(x)=0\quad\Longrightarrow\quad 2\,(x^{2}-4x+3)\,(2x-4)=0.
O fator 2 não zera, então
x^{2}-4x+3=0 \quad\text{ou}\quad 2x-4=0.
Da primeira equação,
x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3)=0\implies x=1\text{ ou }x=3.
Da segunda,
2x-4=0\implies x=2.
Não há pontos onde f' seja indefinida, pois é polinomial.

Resposta

Os pontos críticos são x=1, x=2 e x=3.

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