Exercício 4.24 Encontre todos os pontos críticos das seguintes funções (os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R} ):
f(x)=x(4-x)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os pontos críticos de
f(x)=x\,(4 - x)^{3}
no maior domínio possível em \mathbb{R}.
Como ponto crítico é onde f'(x)=0 ou f' não existe, vamos calcular a derivada de f usando a regra do produto.

Passo 2

Pela regra do produto,
f'(x) =1\cdot(4 - x)^{3} + x\cdot3\,(4 - x)^{2}\cdot(-1).
Colocando em evidência (4 - x)^{2}:
f'(x) =(4 - x)^{2}\Bigl[(4 - x)-3x\Bigr] =(4 - x)^{2}(4 - 4x).
Podemos também escrever
4 - 4x = 4(1 - x),
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f'(x)=4\,(4 - x)^{2}(1 - x).

Passo 3

Para encontrar os críticos, resolvemos
f'(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad 4\,(4 - x)^{2}(1 - x)=0.
Isso dá as soluções \;4 - x=0\implies x=4
e \;1 - x=0\implies x=1.
Não há pontos onde f' deixe de existir, pois f é polinomial.

Resposta

Os pontos críticos são (1,\,f(1)) = (1,\,27)
e (4,\,f(4)) = (4,\,0).

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