Exercício 4.24 Encontre todos os pontos críticos das seguintes funções (os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R} ):
f(x)=x^{2}+\frac{2}{x}

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos da função
f(x)=x^{2}+\frac{2}{x}
definida no maior domínio em \mathbb{R}, ou seja em (-\infty,0)\cup(0,\infty). Lembrando que pontos críticos são aqueles em que f'(x)=0 ou em que f' não está definida mas x pertence ao domínio de f.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Como
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x \quad\text{e}\quad \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{2}{x}\Bigr)=2\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr)=-2x^{-2},
temos
f'(x)=2x-\frac{2}{x^{2}}.

Passo 3

Para encontrar onde f'(x)=0, resolvemos
2x-\frac{2}{x^{2}}=0.
Multiplicando ambos os lados por x^{2} (válido para x\neq0), obtemos
2x^{3}-2=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{3}=1 \quad\Longrightarrow\quad x=1.

Passo 4

Verificamos onde f' fica indefinida: o denominador de \frac{2}{x^{2}} zera em x=0, mas x=0 não pertence ao domínio de f. Logo, não consideramos x=0 como ponto crítico.

Resposta

O único ponto crítico de f é x=1, no qual f(1)=1^{2}+\tfrac{2}{1}=3.

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