Exercício 4.24 Encontre todos os pontos críticos das seguintes funções (os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R} ):
f(x)=x^{2}-32 \sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os pontos críticos da função
f(x)=x^{2}-32\sqrt{x}.
O conteúdo envolvido é derivação de funções elementares e identificação de pontos onde f'(x)=0 ou f' não existe.

Passo 2

Precisamos primeiro determinar o domínio de f. Como aparece \sqrt{x}, exigimos x\ge0. Logo, o domínio é
D=[0,\infty).

Passo 3

Para x>0, f é diferenciável. Derivando termo a termo:
\dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x
\dfrac{d}{dx}\bigl(-32\sqrt{x}\bigr)=-32\cdot\dfrac{1}{2}x^{-1/2}=-16x^{-1/2}.
Portanto, para x>0,
f'(x)=2x-16x^{-1/2} =2x-\frac{16}{\sqrt{x}}.

Passo 4

Os pontos críticos internos satisfazem f'(x)=0. Então,
2x-\frac{16}{\sqrt{x}}=0.
Multiplicando ambos os lados por \sqrt{x}, vem
2x^{3/2}=16 \quad\Longrightarrow\quad x^{3/2}=8 \quad\Longrightarrow\quad x=4.

Passo 5

Além dos zeros de f', pontos onde f' não existe também são críticos. Em x=0 a derivada não está definida e 0\in D. Portanto, x=0 é outro ponto crítico.

Resposta

Os pontos críticos são x=0 e x=4.

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