Exercício 4.24 Encontre todos os pontos críticos das seguintes funções (os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R} ):
f(x)=\sqrt{2 x-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede os pontos críticos da função
f(x)=\sqrt{2x - x^2}
em seu domínio máximo em \mathbb{R}. Para isso, vamos (i) determinar o domínio, (ii) calcular f'(x) e (iii) achar onde f'(x)=0 ou onde f'(x) não existe.

Passo 2

Para definir o domínio precisamos de
2x - x^2 \ge 0,
isto é,
x(2 - x)\ge0.
A solução dessa desigualdade é
0 \le x \le 2.
Logo o domínio de f é o intervalo [0,2].

Passo 3

Para obter f'(x) usamos a regra da cadeia em f(x)=(2x - x^2)^{1/2}. Se g(x)=2x - x^2, então g'(x)=2 - 2x e
f'(x) =\frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}} =\frac{2 - 2x}{2\sqrt{2x - x^2}} =\frac{2(1 - x)}{2\sqrt{2x - x^2}} =\frac{1 - x}{\sqrt{2x - x^2}}.

Passo 4

Os pontos críticos são os x em (0,2) onde f'(x)=0 e também aqueles onde f'(x) não está definida, desde que pertençam ao domínio.
  1. f'(x)=0 quando o numerador 1 - x=0, ou seja x=1. 2. f'(x) não existe quando o denominador \sqrt{2x - x^2}=0, ou seja quando
2x - x^2=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\text{ ou }x=2.
Ambos estão no domínio [0,2], então são pontos críticos também.

Resposta

Os pontos críticos de f são
x=0,\quad x=1,\quad x=2.

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