Exercício 4.24 Encontre todos os pontos críticos das seguintes funções (os domínios são sempre os maiores possíveis em \mathbb{R} ):
f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)

Passo 1

O enunciado pede todos os pontos críticos da função
f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)
com domínio \mathbb{R}. Um ponto crítico é todo x em que f'(x)=0 ou onde f' não existe. Como f é um polinômio, f' existe em todo lugar, então basta resolver f'(x)=0.

Passo 2

Para achar f'(x) podemos primeiro expandir f(x):
f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6
e então derivar termo a termo, obtendo
f'(x) = 3x^2 - 12x + 11.

Passo 3

Agora resolvemos
3x^2 - 12x + 11 = 0.
Pela fórmula de Bhaskara:
x = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4\cdot3\cdot11}}{2\cdot3} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 132}}{6} = \frac{12 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{12 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 2 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}.

Resposta

Os pontos críticos são
x = 2 + \frac{\sqrt{3}}{3} \quad\text{e}\quad x = 2 - \frac{\sqrt{3}}{3}.

Exercícios relacionados