Exercício 25. Calcule vec{u} \times \vec{v} e vec{v} \times \vec{u} nos seguintes casos:
vec{u}=(6,-2,4) e vec{v}=(-1,-2,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto vetorial de \vec{u}=(6,-2,4) com \vec{v}=(-1,-2,1), ou seja, \vec{u}\times\vec{v} e \vec{v}\times\vec{u}. O conteúdo da matéria é o produto vetorial em \mathbb{R}^3, que podemos obter via a fórmula por componentes ou via determinante de matriz 3\times3. Também vamos usar a propriedade de anticomutatividade: \vec{v}\times\vec{u}=-\,(\vec{u}\times\vec{v}).

Passo 2

Pela definição em componentes,
\vec{u}\times\vec{v} =\bigl(u_2v_3 - u_3v_2,\; u_3v_1 - u_1v_3,\; u_1v_2 - u_2v_1\bigr).
Substituindo u_1=6, u_2=-2, u_3=4 e v_1=-1, v_2=-2, v_3=1, temos:
u_2v_3 - u_3v_2 = (-2)\cdot1 - 4\cdot(-2) = -2 + 8 = 6,
u_3v_1 - u_1v_3 = 4\cdot(-1) - 6\cdot1 = -4 - 6 = -10,
u_1v_2 - u_2v_1 = 6\cdot(-2) - (-2)\cdot(-1) = -12 - 2 = -14.
Logo,
\vec{u}\times\vec{v} = (6,\,-10,\,-14).

Passo 3

Pela anticomutatividade do produto vetorial, basta inverter a ordem e trocar o sinal:
\vec{v}\times\vec{u} = -\bigl(\vec{u}\times\vec{v}\bigr) = -(6,\,-10,\,-14) = (-6,\,10,\,14).

Resposta

\vec{u}\times\vec{v} = (6,-10,-14)
\vec{v}\times\vec{u} = (-6,10,14)

Exercícios relacionados