Exercício 19. Sabendo que os pontos A, B, C e D são os vértices de um losango cujo comprimento dos lados é 2 e que a medida do ângulo A \hat{B} C=\frac{2 \pi}{3} \mathrm{rad}, calcule:
\langle\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{B C}\rangle+\langle\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{D C}\rangle

Passo 1

O enunciado diz que A,B,C,D são vértices de um losango de lado 2 e que o ângulo \angle ABC mede \tfrac{2\pi}{3}. Precisamos calcular
\langle \overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{BC}\rangle \;+\;\langle \overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{DC}\rangle.
O conteúdo principal aqui é produto escalar e a propriedade de que um losango é um paralelogramo com todos os lados iguais.

Passo 2

Para achar \langle \overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{BC}\rangle usamos a fórmula
\langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle = \|\mathbf{u}\|\;\|\mathbf{v}\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v}. O enunciado dá \angle ABC=\tfrac{2\pi}{3}, mas esse é o ângulo entre \overrightarrow{BA} e \overrightarrow{BC}. Como \overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}, o ângulo entre \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{BC} vale
\pi - \frac{2\pi}{3} \;=\;\frac{\pi}{3}.
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\langle \overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{BC}\rangle = \|\overrightarrow{AB}\|\;\|\overrightarrow{BC}\|\cos\Bigl(\tfrac{\pi}{3}\Bigr) = 2\cdot 2\cdot \frac12 =2.

Passo 3

Num paralelogramo (e, portanto, num losango) vale \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}, pois lados opostos são paralelos e congruentes. Então
\langle \overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{DC}\rangle = \langle \overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AB}\rangle = \|\overrightarrow{AB}\|^2 =2^2 =4.

Passo 4

Somando os dois resultados:
\langle \overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{BC}\rangle +\langle \overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{DC}\rangle =2+4 =6.

Resposta

6

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