Exercício 25. Calcule vec{u} \times \vec{v} e vec{v} \times \vec{u} nos seguintes casos:
vec{u}=(7,0,5) e vec{v}=(1,2,-1).

Passo 1

O enunciado pede o produto vetorial de dois vetores em \mathbb{R}^3. O conteúdo é a definição de produto vetorial: dados
\vec{a} = (a_1,a_2,a_3) e \vec{b} = (b_1,b_2,b_3),
temos
\vec{a}\times\vec{b} = \bigl(a_2 b_3 - a_3 b_2,\;a_3 b_1 - a_1 b_3,\;a_1 b_2 - a_2 b_1\bigr).

Passo 2

Aplicando a fórmula a \vec{u}=(7,0,5) e \vec{v}=(1,2,-1), calculamos componente a componente:
u_2 v_3 - u_3 v_2 = 0\cdot(-1) - 5\cdot2 = -10,
u_3 v_1 - u_1 v_3 = 5\cdot1 - 7\cdot(-1) = 5 + 7 = 12,
u_1 v_2 - u_2 v_1 = 7\cdot2 - 0\cdot1 = 14.
Portanto,
\vec{u}\times\vec{v} = (-10,\;12,\;14).

Passo 3

Usando a propriedade anticomutativa do produto vetorial,
\vec{v}\times\vec{u} = -\,(\vec{u}\times\vec{v}) = (10,\,-12,\,-14).
Para conferir, podemos calcular diretamente:
v_2 u_3 - v_3 u_2 = 2\cdot5 -(-1)\cdot0 = 10,
v_3 u_1 - v_1 u_3 = -1\cdot7 - 1\cdot5 = -12,
v_1 u_2 - v_2 u_1 = 1\cdot0 - 2\cdot7 = -14.

Resposta

\vec{u}\times\vec{v} = (-10,\;12,\;14)
\vec{v}\times\vec{u} = (10,\;-12,\;-14)

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